"Lineare" Abbildungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 09.05.2016 | | Autor: | Attila |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es für eine lineare Abbildung [mm] $A:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ [/mm] mit [mm] $A\neq [/mm] 0$ Basen B und C gibt, sodass die Darstellungsmatrix eine der folgenden Formen hat:
[mm] $\pmat{1&0&0 \\0&1&0 \\ 0&0&1}, \pmat{1&0&0 \\0&1&0 \\ 0&0&0} [/mm] und [mm] \pmat{1&0&0 \\0&0&0 \\ 0&0&0}$. [/mm] |
Hi,
meine Frage ist, wie ich das konkret angehen kann, weil ich ja keine Abbildung habe mit der ich arbeiten kann.
LG,
Attila
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie, dass es für eine lineare Abbildung
> [mm]A:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3[/mm] mit [mm]A\neq 0[/mm] Basen B
> und C gibt, sodass die Darstellungsmatrix eine der
> folgenden Formen hat:
> [mm]\pmat{1&0&0 \\0&1&0 \\ 0&0&1}, \pmat{1&0&0 \\0&1&0 \\ 0&0&0} und \pmat{1&0&0 \\0&0&0 \\ 0&0&0}[/mm].
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> Hi,
> meine Frage ist, wie ich das konkret angehen kann, weil ich
> ja keine Abbildung habe mit der ich arbeiten kann.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Unterscheide drei Fälle, und zwar nach der Dimension des Kerns.
Welche Dimension kann der Kern von A haben?
Wenn Du nun die Basis des Kerns als Grundbausteine der Basis B nimmst, bist Du der Angelegenheit schon auf der Spur...
LG Angela
> LG,
> Attila
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mi 11.05.2016 | | Autor: | Attila |
Hi,
danke für deine Antwort. Ich würde sagen, die Dimension 0, wenn es bijektiv ist (linke Matrix) und dann von links nach rechts 1 und 2 oder?
LG, Attila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> danke für deine Antwort. Ich würde sagen, die Dimension
> 0, wenn es bijektiv ist (linke Matrix) und dann von links
> nach rechts 1 und 2 oder?
ja, stimmt
Fred
> LG, Attila
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Sa 14.05.2016 | | Autor: | Attila |
Hi,
und wie würde das dann weiter aussehen, ich nehme doch dann einfach eine Basis vom Kern und den oder die Vektoren, die das Bild aufspannen und habe meine Basis für Basis C, wenn B die im Urbildraum war, oder?
LG Attila
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Hallo,
betrachten wir mal den Fall dim Kern=1.
Sei [mm] b_3 [/mm] eine Basis des Kerns.
Wir können sie durch zwei Vektoren [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen und haben [mm] B:=(b_1, b_2, b_3).
[/mm]
Jetzt überlege Dir, wie Du C wählen mußt, damit die Abbildungsmatrix die geforderte ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 15.05.2016 | | Autor: | Attila |
Hi,
dann würde ich einfach B als C nehmen, weil ich dann genau die geforderten Koordinatenvektoren bekomme. Macht das Sinn?
LG Attila
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> Hi,
> dann würde ich einfach B als C nehmen, weil ich dann genau
> die geforderten Koordinatenvektoren bekomme. Macht das
> Sinn?
Hallo,
ich habe Zweifel daran, daß Du auf diese Weise die gewünschte Matrix bekommst.
Betrachten wir für [mm] B:=(\vektor{1\\1\\1},\vektor{1\\2\\1},\vektor{1\\1\\2}) [/mm] mal die wie folgt definierte lineare Abbildung [mm] f:\IR^3\to \IR^3 [/mm] :
[mm] f(\vektor{1\\1\\1}):=\vektor{3\\4\\3}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1\\2\\1}):=\vektor{2\\3\\3}
[/mm]
[mm] f(\vektor{1\\1\\2}):=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Wenn Du die Basis C im Bildraum so wählst, wie Du sagst, bekommst Du dann die gewünschte Matrix?
LG Angela
> LG Attila
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mo 16.05.2016 | | Autor: | Attila |
Hi,
nein, die kriege ich nicht, blöd von mir. Man könnte doch jetzt aber die Bilder der Basisvektoren nehmen (hier die der ersten beiden) und diese dann zu einer Basis ergänzen, da sie ja linear unabhängig sind. Ich käme dann zu [mm] $C:=(\vektor{3\\ 4 \\ 3}, \vektor{2 \\ 3 \\ 3}, [/mm] z)$, wobei z nur linear unabhängig zu den anderen beiden sein muss.
LG Attila
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Hallo,
ja genau, so funktioniert es!
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 17.05.2016 | | Autor: | Attila |
Vielen vielen Dank.
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