Lineare Abh. von Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:23 Do 03.03.2005 | | Autor: | DrOetker |
Abend!
Glaube ihr müsst mir mal auf die Sprünge helfen.
Habe folgende Aufgabe:
Für welche x sind folgende Vektoren linear Abhängig?
1) 1a + xb +1c = 0
2) -1a - 1c = 0
3) xa + 2b +1c = 0
Mein Ansatz:
2) -1a = c //-> in 1)
1) a + xb - a = 0
-> Erstens x=0
1) a + c = 0
2) -a - c = 0
3) c = 0
a= 0
c=0
b=0
-> oder zweitens b=0
1) a + c = 0 //-> c = -a
2) -a - c = 0
3) xa + c = 0
3) xa - a = 0
xa = a
x = 1
Der Witz bei der Sache ist das ich gar nicht weiß was ich da überhaupt gezeigt habe. Was ist von dem Ansatz zu gebrauchen, was ist totaler Quatsch? Hätte ich die Aufgabe auch einfacher lösen können???
Eine zweite Frage habe ich auch noch
1) 4a + 1b + 3c = 0
2) 2a - 5b - 4c = 0
3) -2a + 4b + 3c = 0
Wie zeige ich hier lineare Unabhängigkeit? Komme irgendwie nie zu einem brauchbaren ERgebnis.
|
|
| |
|
Hallo DrOetker,
> Abend!
> Glaube ihr müsst mir mal auf die Sprünge helfen.
> Habe folgende Aufgabe:
>
> Für welche x sind folgende Vektoren linear Abhängig?
> 1) 1a + xb +1c = 0
> 2) -1a - 1c = 0
> 3) xa + 2b +1c = 0
>
Aus diesem Gleichungssystem kann ich nicht so recht die Vektoren erkennen; meinst du:
$ [mm] a\vektor{1 \\ -1\\x} [/mm] + b [mm] \vektor{x \\ 0\\2} [/mm] + c [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1}= \vec{0}$
[/mm]
> Mein Ansatz:
>
> 2) -1a = c //-> in 1)
>
> 1) a + xb - a = 0
>
> -> Erstens x=0
> 1) a + c = 0
> 2) -a - c = 0
> 3) c = 0
>
> a= 0
> c=0
> b=0
>
>
> -> oder zweitens b=0
> 1) a + c = 0 //-> c = -a
> 2) -a - c = 0
> 3) xa + c = 0
>
> 3) xa - a = 0
> xa = a
> x = 1
>
>
> Der Witz bei der Sache ist das ich gar nicht weiß was ich
> da überhaupt gezeigt habe. Was ist von dem Ansatz zu
> gebrauchen, was ist totaler Quatsch? Hätte ich die Aufgabe
> auch einfacher lösen können???
>
Kennst du die Definition der linearen Unabhängigkeit von Vektoren?
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
> Eine zweite Frage habe ich auch noch
> 1) 4a + 1b + 3c = 0
> 2) 2a - 5b - 4c = 0
> 3) -2a + 4b + 3c = 0
>
> Wie zeige ich hier lineare Unabhängigkeit? Komme irgendwie
> nie zu einem brauchbaren ERgebnis.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Do 03.03.2005 | | Autor: | DrOetker |
Morgen!
Deine Vektordarstellung war richtig. Habe das ERgebnis gerade einmal über die Determinante ausgerechnet. Da erhalte ich x=1 und x=0.
Was ist aber mit a= 0 usw.? Ist das auch Teil der Lösung?
Zu der Definition.
Was ist denn nun wenn ich in einem Vektor ein x ausgerechnet habe und die Faktoren vor den Vektoren gar nicht kenne? Woher weiß ich jetzt dass das ausgerechnete Element linear abhängig ist???
Wenn ich keine Unbekannten in den Vektoren habe, habe ich es so verstanden dass ein System linear unabhängig ist, wenn sich der Vektor auf der rechten Seite der Gleichung nicht als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen lässt. Richtig???
Was ist mit Sonderregeln z.B. alle Faktoren vor den Vektoren = 0, wenn mehr Vektoren da stehen als die Ordnung angibt etc???
|
|
|
| |
|
Hallo DrOetker,
> Morgen!
> Deine Vektordarstellung war richtig. Habe das ERgebnis
> gerade einmal über die Determinante ausgerechnet. Da
> erhalte ich x=1 und x=0.
Das bedeutet:
Wenn du für x 1 oder 0 einsetzt, entstehen jeweils Vektoren, die mit den anderen kombiniert den Nullvektor ergeben, ohne dass die Koeffizienten a,b,c zugleich 0 sind.
Das aber ist die Definition der linearen Abhängigkeit.
Genauer:
wenn man im [mm] \IR^3 [/mm] drei Vektoren [mm] $\vec{u}$,$ \vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] hat und
es gilt:$ [mm] a\vec{u}+b \vec{v}+c \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] und mind. ein a oder b oder c ist nicht =0,
dann sind [mm] $\vec{u}$, $\vec{v}$ [/mm] und [mm] $\vec{w}$ [/mm] linear abhängig:
aus je zweien läßt sich der dritte berechnen.
Wenn dagegen $ [mm] a\vec{u}+b \vec{v}+c \vec{w} [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm] nur dadurch erreichbar ist,
dass alle a,b,c zugleich 0 sind, dann kann man nicht einen der Vektoren durch die beiden anderen ersetzen: alle drei sind linear unabhängig.
Du kannst dir das so vorstellen: liegen alle drei Vektoren in einer Ebene, kann man sie zu einem Dreieck zusammensetzen und sie addieren sich zu 0.
Ragt aber einer aus der Ebene heraus, die von den beiden anderen gebildet wird, kann man auf keinen Fall einen der Vektoren durch eine Linearkombination der beiden anderen ersetzen (weil die Richtungen nicht stimmen.)
> Was ist aber mit a= 0 usw.? Ist das auch Teil der
> Lösung?
>
> Zu der Definition.
> Was ist denn nun wenn ich in einem Vektor ein x
> ausgerechnet habe und die Faktoren vor den Vektoren gar
> nicht kenne? Woher weiß ich jetzt dass das ausgerechnete
> Element linear abhängig ist???
gar nicht; du musst zur Überprüfung der Linearen Abhängigkeit stets die Koeffizienten berechnen, damit du siehst, ob die Linearkombination nur a,b,c alle 0 zu lösen ist oder durch mind. ein a oder b oder c ist [mm] \ne [/mm] 0.
> Wenn ich keine Unbekannten in den Vektoren habe, habe ich
> es so verstanden dass ein System linear unabhängig ist,
> wenn sich der Vektor auf der rechten Seite der Gleichung
> nicht als Linearkombination der restlichen Vektoren
> darstellen lässt. Richtig??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ist mit Sonderregeln z.B. alle Faktoren vor den
> Vektoren = 0,
Das ist keine Sonderregelung, sondern der Fall: die Vektoren sind linear unabhängig.
> wenn mehr Vektoren da stehen als die Ordnung
> angibt etc???
dann sind die Vektoren stets linear abhängig: denn mit drei Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] kannst du alle anderen Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] beschreiben: genau machen wir ja, wenn wir irgendeinen beliebigen Vektor als Linearkombination der drei Vektoren in Richtung der Achsen beschreiben:
[mm] $\vektor {v_1\\v_2\\v_3} [/mm] = [mm] v_1\vektor{1\\0\\0} [/mm] + [mm] v_2\vektor{0\\1\\0} +v_3\vektor{0\\0\\1}$.
[/mm]
Jetzt klar(er)?
|
|
|
|
