Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)Untersuche, ob die folgenden Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind:
$ [mm] \vec{a}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ $ [mm] \vec{b}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ $ [mm] \vec{c}=\begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] $
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Hallo, ich möchte gerne wissen, ob meine Lösung richtig, falsch oder noch unvollständig ist.
Zunächst habe ich alle Vektoren gleich 0 gesetzt, sodass gilt:
1. 4r - 2s - 5t = 0
2. 3r + 0s - 2t = 0
3. r + s + 3t = 0
1.Zeile + 2 [mm] \cdot [/mm] 2.Zeile:
1. 4r - 2s - 5t = 0
2. 3r - 2t = 0
3. 6r + t = 0
2.Zeile + 2 [mm] \cdot [/mm] 3.Zeile:
1. 4r - 2s - 5t = 0
2. 3r - 2t = 0
3. 15r = 0
Aus der 3. Gleichung ergibt sich r = 0
Aus der 2. Gleichung ergibt sich nach einsetzen von r, t=0
Aus der 3. Gleichung ergibt sich nach einsetzen von r und t, s=0
Somit ist r=s=t=0, also sind die Vektoren linear unabhängig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Do 05.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
stimmt soweit, dein LGS hat nur eine Lösung, nämlich den Nullvektor.
Somit sind die Vektoren linear unabhängig.
Gruß,
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Do 05.04.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo predator20010,
ich weiß ja nicht, ob der Gauß-Algo vorgegeben war, aber wenn du die Vektoren zu einer Koeffizientenmatrix A zusammenführst und die daraus resultierende
 Determinante <-- click it
berechnest und [mm] det(A)\not=0 [/mm] ist, dann sind deine Vektoren linear unabhängig.
Liebe Grüße
Herby
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| Aufgabe | | b)Stelle den Vektor $ [mm] \vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] $ als Linearkombination der Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] dar. |
Ist folgender Lösungsweg richtig?
Also zunächst habe ich die drei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] mit dem Vektor [mm] \vec{d} [/mm] gleichgesetzt, sodass man das letzte Gleichungssystem von Aufgabenteil a) stehen lassen kann und nur auf der rechten Seite den 0 Vektor durch [mm] \vec{d} [/mm] ersetzen muss.
1. 4r - 2s - 5t = -4 [mm] \Rightarrow [/mm] s = -3
2. 3r - 2t = -4 [mm] \Rightarrow [/mm] t = 2
3. 15r = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r = 0
[mm] \vec{d} [/mm] = 0 $ [mm] \cdot \vec{a} [/mm] $ - 3 $ [mm] \cdot \vec{b} [/mm] $ + 2 $ [mm] \cdot \vec{a} [/mm] $
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| Aufgabe | Deute das Ergebnis hinsichtlich der Lage der Vektoren zueinander.
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Kann ich dann einfach schreiben, dass die Vektoren linear abhängig sind?
Wenn ja, wie kann das dann gehen, wenn die 3 Vektoren aus Aufgabenteil a) linear unabhängig sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Do 05.04.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das kannst du mit dem Rang begründen, denn führst du den Lösungsvektor zu der Koeffizientenmatrix, dann hast du 4 Spalten und nur 3 Zeilen, also nicht mehr den vollen Rang - woraus die lineare Abhängigkeit resultiert.
lg
Herby
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Also kann das dann sein, dass 3 vektoren linear unabhängig sind und wenn man einen 4. Vektor dazu nimmt, diese dann linear abhängig sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Do 05.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, dem ist so.
Ein weiteres Beispiel dazu, welches ich kenne:
Du hast eine Ebene, in der zwei Vektoren liegen, die linear unabhängig seien.
Dann denkst du dir einen dritten Vektor, der ebenfalls in der Ebene liegt, hinzu.
Hier siehst du dann auch, dass diese drei Vektoren zusammen linear abhängig sind, wobei zwei Vektoren alleine in einer Ebene nicht linear abhängig sind (es sei denn natürlich, sie sind vielfache voneinander).
Sláin
Kroni
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Hallo,
> Also zunächst habe ich die drei Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}[/mm]
> und [mm]\vec{c}[/mm] mit dem Vektor [mm]\vec{d}[/mm] gleichgesetzt, sodass
> man das letzte Gleichungssystem von Aufgabenteil a) stehen
> lassen kann und nur auf der rechten Seite den 0 Vektor
> durch [mm]\vec{d}[/mm] ersetzen muss.
Hier ist der Denkfehler, du musst die Umformungen mit dem [mm] \vec{d} [/mm] neu machen, dann bleibt auf der rechten Seite auch nicht [mm] \vektor{-4 \\ -4 \\ 3} [/mm]
> [mm]\vec{d}[/mm] = 0 [mm]\cdot \vec{a}[/mm] - 3 [mm]\cdot \vec{b}[/mm] + [mm] 2*\vec{c} [/mm] ... ist falsch
>
wäre die 0 richtig hieße das, dass unsere 3 vektoren linear abhängig wären, da die linearkombination nur aus 2 Vektoren bestünde und nicht aus 3
Gruß
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Do 05.04.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Andreas,
bei mir ergibt aber:
[mm] 0*\vektor{4\\3\\1}-3*\vektor{-2\\0\\1}+2*\vektor{-5\\-2\\3}=\vektor{-4\\-4\\3}
[/mm]
und es war nur gefordert den Vektor d als Linearkombination darzustellen (das hat doch nix mit der linearen Abhängigkeit zu tun - oder doch?????)
Liebe Grüße
Herby
.... sehe ich was falsch ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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Hallo Herby,
dann bilde ich doch die Liearkombiantion nur aus 2 vektoren, die eine ebene aufspannen, wo [mm] \vec{d} [/mm] drinliegt.
...Ach stimmt die 3 Vektoren können ja trotzdem linear unabhängig sein, wenn der 3. Vektor nur nicht in dieser Ebene liegt.
Hab meinen Denkfehler entdeckt.
Aber eine Frage noch, wieso macht es keinen Unterschied ob ich das Gleichungssystem benutze mit dem gezeigt wurde dass die vektoren linear unabhängg sind (das letzte System der Umformungen) mit den Nullvektor als Lösung und hier den Nullvektor einfach durch [mm] \vec{d} [/mm] ersetze.... oder ob ich das Gleichungssystem benutze :
[mm] r*\vec{a}+s*\vec{b}+t\vec{c}=\vec{d}??
[/mm]
Beim Umformen von diesem Gleichungssytem wird ja die Koeffizientenmatix ja evtl. so wie die aus dem andern Gleichungssytem, aber durch die Umformungen bleibt der Ergebisvekotr ja nicht gleich [mm] \vec{d}...
[/mm]
Oder wo denk ich da falsch....?
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Do 05.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Aufgabe ist doch d als Linearkombination von a,b,c darzustellen. Dazu musst du dann das von dir genannte Gleichungssystem aufstellen und lösen. Es sieht links genau so aus wie das andere nur der Ergebnissvektor ist jetzt d und nicht 0. Dann kommen da auch natürlich andere Lösungen raus.
Gruß
Hund
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Hallo,
sorry aber eins versteh ich net...
Beim Umformen von meinem Gleichungssytem wird ja die Koeffizientenmatix ja evtl. so wie die aus dem andern Gleichungssytem, aber durch die Umformungen bleibt der Ergebisvekotr ja nicht gleich [mm] \vec{d}.
[/mm]
Das ist doch nicht falsch?..oder doch?
Liebe Grüße
Andreas
P.S.: Hoffe du verstehst was ich meine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Andreas
Du hast recht, und wenn du genau hinsiehst hat predator genau das gemacht,(allerdings was anderes gesagt!) d.h. genau dieselben Umformungen, die er mit den linken Seiten gemacht hat jetzt auch mit d gemacht!
also nicht einfach d auf die rechte seite der reduzierten Gleichung!
Sonst waer das Ergebnis falsch!
Gruss leduart
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Hallo,
vielen vielen Dank!!!!
Jetzt versteh ich das... Deswegen hab ich die 0 in der 3. Gleichung als Abschreibfehler gedeutet... und so meinen kompletten Gedankengang falsch aufgebaut..
Danke, so falle ich doch nicht vom Glauben ab!!
Liebe Grüße
Andreas
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| Aufgabe | In einem Vektorraum seien die Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] linear unabhängig. Untersuche, ob die Vektoren $ [mm] \vec{u}=\vec{a}+ 2\vec{b} [/mm] $, $ [mm] \vec{v}=\vec{b}+ \vec{c} [/mm] $, $ [mm] \vec{w}=2\vec{a}- \vec{c} [/mm] $ linear abhängig oder linear unabhängig sind.
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Kann man bei der Aufgabe folgendermaßen vorgehen?
$ r [mm] \cdot (\vec{a}+2\vec{b}) [/mm] $ + $ s [mm] \cdot (\vec{b}+ \vec{c}) [/mm] $ + $ t [mm] \cdot (2\vec{a}-\vec{c}) [/mm] $ = [mm] \vec{0}
[/mm]
$ [mm] \gdw (r+2t)\cdot \vec{a} [/mm] $ + $ [mm] (2r+s)\cdot\vec{b} [/mm] $ + [mm] (s-t)\cdot \vec{c}
[/mm]
Daraus kann man jetzt ein Gleichungssystem erstellen, dem man entnehmen kann, dass r=s=t=0 ist und somit die Vektoren linear unabhängig sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Do 05.04.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") alles korrekt
Liebe Grüße
Herby
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Danke, jetzt weiß ich wenigstens, dass alles richtig ist!
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
aber ich musste zum Zug, deshalb keine Antwort von mir.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
