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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Naaki |
| Aufgabe | | Für welche Werte von a sind die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 5}, \vektor{-2 \\ 3 \\ -3} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ -10 \\ a} [/mm] linear abhängig? Stellen Sie in diesem Falle den dritten Vektor als Linearkombination der beiden anderen dar! |
Hallo zusammen,
ich habe die Problematik mit der Linearkombination nicht verstanden und würde gerne wissen, woran ich sehen kann ob 2 bzw 3 Vektoren linear abhängig voneinander sind.
Ich vermute, das ich erst die Vektoren als Matrix schreiben muss, und dann die in die Zeilenstudenform bringen muss, stimmt das?
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo Sebastian,
> Für welche Werte von a sind die Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 5}, \vektor{-2 \\ 3 \\ -3}[/mm] und [mm]\vektor{3 \\ -10 \\ a}[/mm] linear abhängig? Stellen Sie in
> diesem Falle den dritten Vektor als Linearkombination der
> beiden anderen dar!
> Hallo zusammen,
>
> ich habe die Problematik mit der Linearkombination nicht
> verstanden und würde gerne wissen, woran ich sehen kann ob
> 2 bzw 3 Vektoren linear abhängig voneinander sind.
> Ich vermute, das ich erst die Vektoren als Matrix schreiben
> muss, und dann die in die Zeilenstudenform bringen muss,
> stimmt das? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ganz genau!
Du musst ja prüfen, für welche(s) a sich der Nullvektor [mm] $\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] aus den drei oben gegebenen Vektoren nicht-trivial linear kombinieren lässt.
Zu bestimmen ist also, für welche(s) a die LK [mm] $\lambda\cdot{}\vektor{1 \\ 4 \\ 5}+\mu\cdot{}\vektor{-2 \\ 3 \\ -3}+\nu\cdot{}\vektor{3 \\ -10 \\ a}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] eine Lösung [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] hat, so dass mindestens eines der [mm] $\lambda,\mu,\nu\neq [/mm] 0$ ist
Das machst du am übersichtlichsten, indem du die 3 Vektoren als Spalten in eine Matrix stopfst und selbige dann mit Gauß in ZSF bringst, wie du schon gesagt hast.
Bedenke, dass ein homogenes LGS immer die Nullösung als Lösung hat.
Hier ist/sind aber Wert/e von a gesucht, für die es eben nicht die Nullösung ist
Schau also, für welches a du in der ZSF eine Nullzeile bekommst, damit hast du dann ja einen frei wählbaren Parameter ...
Geh's mal an ...
>
> Vielen Dank für die Hilfe.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Naaki |
Danke für die schnelle Reaktion, ich bin grade dabei die Matrix auf ZSF zu bringen, jedoch tauchen da auch schon die ersten Probleme auf
Aufgeschrieben in "Grundform" sieht sie so aus
1 -2 3 I
4 3 -10 II
5 -3 a III
Ich hab die Zeilen umgeformt durch Rechnung -5*I + III und -4*I + II
Dabei hab ich folgendes heraus:
1 -2 3
0 11 -22
0 7 -15+a
Stimmt das bis dahin? Ich komme dann nicht so Recht weiter, da es mich ziemlich verwirrt, das an dem Parameter a noch ein Summand mit dran hängt.
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Hallo nochmal,
> Danke für die schnelle Reaktion, ich bin grade dabei die
> Matrix auf ZSF zu bringen, jedoch tauchen da auch schon die
> ersten Probleme auf
> Aufgeschrieben in "Grundform" sieht sie so aus
> 1 -2 3 I
> 4 3 -10 II
> 5 -3 a III
>
> Ich hab die Zeilen umgeformt durch Rechnung -5*I + III und
> -4*I + II
> Dabei hab ich folgendes heraus:
> 1 -2 3
> 0 11 -22
> 0 7 -15+a
Jo, gut soweit, nun erstmal die 2.Zeile mit [mm] $\frac{1}{11}$ [/mm] multiplizieren, dann hast du
[mm] $\pmat{1&-2&3\\0&1&-2\\0&7&-15+a}$
[/mm]
Dass an dem a ein Summand hängt, ist nicht weiter schlimm, du willst ja den Eintrag [mm] $a_{32}$, [/mm] also die 7 loswerden
Addiere also das -7fache der 2.Zeile zur 3.Zeile, dann hast du die ZSF und kannst direkt die Lösung für a ablesen, für die es eine Nullzeile gibt
>
> Stimmt das bis dahin? Ich komme dann nicht so Recht weiter,
> da es mich ziemlich verwirrt, das an dem Parameter a noch
> ein Summand mit dran hängt.
Das ist kein Problem 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Naaki |
In Zeilenstufenform müsste die Matrix so aussehen:
[mm] \pmat{1&-2&3\\0&1&-2\\0&0&-1+a}
[/mm]
Damit ich die die Nullzeile für 3x erreiche muss a den Wert 1 annehmen also a=1.
Was sagt mir nun genau diese letzte Nullzeile aus? Das ALLE drei Vektoren linear unabhängig sind?
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> In Zeilenstufenform müsste die Matrix so aussehen:
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> [mm]\pmat{1&-2&3\\0&1&-2\\0&0&-1+a}[/mm]
> Damit ich die die Nullzeile für 3x erreiche muss a den
> Wert 1 annehmen also a=1.
>
> Was sagt mir nun genau diese letzte Nullzeile aus? Das ALLE
> drei Vektoren linear unabhängig sind?
Hallo,
für a=1 lautest die ZSF
[mm] \pmat{1&-2&3\\0&1&-2\\0&0&0},
[/mm]
die Matrix hat also den Rang 2, dh. es sind nur zwei der eingesetzten vektoren linear unabhängig.
Also sind deine drei vektoren für a=1 nicht linear unabhängig.
In allen anderen Fällen ist der Rang der Matrix =3, dh. die eingesetzten drei vektoren sind linear unabhängig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Naaki |
Darstellung des dritten Vektors als Linearkombination der beiden anderen.
Wie bewerkstelligt man das? Muss ich dafür die Zeilenstufen form, der Ausgangsvektoren zu Hilfe nehmen?
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> Darstellung des dritten Vektors als Linearkombination der
> beiden anderen.
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> Wie bewerkstelligt man das? Muss ich dafür die Zeilenstufen
> form, der Ausgangsvektoren zu Hilfe nehmen?
Hallo,
ja.
Für [mm] a\not=1 [/mm] hatten wir ja festgestellt, daß die Vektoren linear unabhängig sind. In diesem Fall kannst Du den drtten also nicht als Linerkombination der beiden anderen darstellen.
Für a=1 findest Du die Linearkombination, indem Du eine von der trivialen Lösung verschiedene Lösung des Gleichungssystems angibst, wozu Du Dich natürlich der ZSF bedienst.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> Für a=1 hatten wir ja festgestellt, daß die vektoren linear
> unabhängig sind. In diesem Fall kannst Du den drtten also
> nicht als Linerkombination der beiden anderen darstellen.
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> Für [mm]a\not=1[/mm] findest Du die Linearkombination, indem Du eine
> von der trivialen Lösung verschiedene Lösung des
> Gleichungssystems angibst, wozu Du Dich natürlich der ZSF
> bedienst.
Na, wenn da mal kein fetter Dreher drin ist
Es ist doch genau umgekehrt ...
>
> Gruß v. Angela
>
LG
schachuzipus
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> Na, wenn da mal kein fetter Dreher drin ist
Jetzt nicht mehr. Danke!
Gruß v. Angela
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