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Lineare Abhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:54 Fr 06.02.2009
Autor: DerdersichSichnennt

Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren:

[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}; \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}; \vec{c} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}; \vec{d} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{e} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{f} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 3 \\ 1}; [/mm]

a) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c}, vec{d} und vec{e} linear unabhängig?
b) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c} und vec{d} linear unabhängig?
c) Sind vec{a}, vec{b} und vec{c} linear unabhängig?
d) Im Falle der linearen Unabhängigkeit bestimme man reelle Zahlen so, dass die entsprechende Linearkombination der unabhängigen Vektoren den Vektor vec{f} ergibt.

Guten Tag,

ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe. Ich komme wohl auf die richtigen Ergebnisse, jedoch bin ich mir nicht sicher ob die Art und Weise wie ich darauf komme so ganz richtig ist bzw op man das so machen kann/darf. Vorallem bei a), und den Umformungen zu Bestimmung des Ranges..

zu a)
nein, da 5 Vektoren in einem 4-dim Vektorraum nicht lin. unhabhängig sein können.
(stimmt das wirklich?)

zu b)
Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm]  | II - I
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm]  | III - II
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 } [/mm]  | IV - III
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 } [/mm]

=> Rg = 4 = n, mit n = Anzahl der Spalten
=> linear unabhängig

zu c)
Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
= Rg [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
=> Rg = 3 = n
=> linear unabhängig

zu d)
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & |-1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & |1 } [/mm]  
in Trapezform bringen =>
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 0 & -1 & 0 & 2 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & |6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & |5 } [/mm]  

=>
[mm] 2x_{4} [/mm] = 5
[mm] x_{4} [/mm] = 2,5

[mm] x_{3} [/mm] + 2*2,5 = 6
[mm] x_{3} [/mm] = 1

[mm] -x_{2} [/mm] + 5 = 3
[mm] x_{2} [/mm] = 2

[mm] x_{1} [/mm] + 5 = 2
[mm] x_{1} [/mm] = -3

=> [mm] -3\vec{a} [/mm] + [mm] 2\vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] + [mm] 2,5\vec{d} [/mm] = [mm] \vec{f} [/mm]

War ja ne ganze Menge, aber ich bedanke mich schonmal und ich würde mich freuen, wenn mir jemand eine Rückmeldung gibt.

Danke und mit freundlichen Grüßen

DerderSichsichnennt

        
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Fr 06.02.2009
Autor: angela.h.b.


> Gegeben sind die Vektoren:
>  
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}; \vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}; \vec{c}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}; \vec{d}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{e}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}; \vec{f}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 3 \\ 1};[/mm]
>  
> a) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c}, vec{d} und vec{e} linear
> unabhängig?
>  b) Sind vec{a}, vec{b}, vec{c} und vec{d} linear
> unabhängig?
>  c) Sind vec{a}, vec{b} und vec{c} linear unabhängig?
>  d) Im Falle der linearen Unabhängigkeit bestimme man
> reelle Zahlen so, dass die entsprechende Linearkombination
> der unabhängigen Vektoren den Vektor vec{f} ergibt.
>  Guten Tag,
>  
> ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe. Ich komme
> wohl auf die richtigen Ergebnisse, jedoch bin ich mir nicht
> sicher ob die Art und Weise wie ich darauf komme so ganz
> richtig ist bzw op man das so machen kann/darf. Vorallem
> bei a), und den Umformungen zu Bestimmung des Ranges..
>  
> zu a)
>  nein, da 5 Vektoren in einem 4-dim Vektorraum nicht lin.
> unhabhängig sein können.
>  (stimmt das wirklich?)

Hallo,

ja, das stimmt wirklich, und es erspart einem bei solchen Fragen einiges an rechnerei.


>  
> zu b)
>  Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>  | II - I
>  = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>  | III - II
>  = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & \red{-}2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>  | IV - III
>  = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & -2 }[/mm]
>  
> => Rg = 4 = n, mit n = Anzahl der Spalten
>  => linear unabhängig

Ja.
das markierte [mm] \red{-} [/mm] ist verkehrt, im Endeffekt erhält man aber trotzdem den Rang 4.


>  
> zu c)
>  Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> = Rg [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> => Rg = 3 = n
>  => linear unabhängig

Hier hättest Du Dir das Rechnen sparen können.

Den nDu hast es hier mit einer Teilmenge der zuvor als unabhängig erkannten Menge zu tun.


>  
> zu d)
>  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & |-1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & |1 }[/mm]
>  
> in Trapezform bringen =>
>  [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 2 & |2 \\ 0 & -1 & 0 & 2 & |3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & |6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & |5 }[/mm]
>  
>
> =>
>  [mm]2x_{4}[/mm] = 5
>  [mm]x_{4}[/mm] = 2,5
>  
> [mm]x_{3}[/mm] + 2*2,5 = 6
>  [mm]x_{3}[/mm] = 1
>  
> [mm]-x_{2}[/mm] + 5 = 3
> [mm]x_{2}[/mm] = 2
>  
> [mm]x_{1}[/mm] + 5 = 2
>  [mm]x_{1}[/mm] = -3
>  
> => [mm]-3\vec{a}[/mm] + [mm]2\vec{b}[/mm] + [mm]\vec{c}[/mm] + [mm]2,5\vec{d}[/mm] = [mm]\vec{f}[/mm]

Die Vorgehensweise hier ist richtig, nachrechnen tue ich das jetzt nicht.

Ob Dein Ergebnis stimmt, kannst du ja durch Einsetzen prüfen.

Gruß v. Angela

>  
> War ja ne ganze Menge, aber ich bedanke mich schonmal und
> ich würde mich freuen, wenn mir jemand eine Rückmeldung
> gibt.
>
> Danke und mit freundlichen Grüßen
>  
> DerderSichsichnennt


Bezug
                
Bezug
Lineare Abhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 Fr 06.02.2009
Autor: DerdersichSichnennt

Vielen Dank für deine schnelle Hilfe und deine Tipps!

MfG DerderSichsichnennt


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