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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 25.02.2009 | | Autor: | pehdr |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die Vektoren (1, i, 0), (1 + i, -i, 1), (0, 1, 1 - i) in [mm] \IC^{3} [/mm] über [mm] \IC [/mm] bzw. [mm] \IR [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo,
Bisher habe ich so eine Untersuchung nur mit Vektoren in [mm] \IR^{2} [/mm] oder [mm] \IR^{3} [/mm] durchgeführt, aber vom Prinzip sollte es genauso funktionieren, nicht wahr?
Ich habe also eine 3x3 Matrix aufgestellt und die Determinante ausgerechnet. Hierfür habe ich dann (-2 - 3i) heraus und deswegen sollten die Vektoren linear unabhängig sein. Stimmt dies?
Hier ist meine Rechnung:
[mm] \pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ i & -i & 1 \\ 0 & 1 & 1-i } [/mm] -> vertauschen -> [mm] \pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ 0 & 1 & 1-i \\ i & -i & 1 } [/mm] -> 1.Zeile * i und subtrahieren von 3.Zeile ->
[mm] \pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ 0 & 1 & 1-i \\ 0 & -1+2i & 1 } [/mm] -> 2.Zeile * (-1 + 2i) und addieren auf 3.Zeile ->
[mm] \pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ 0 & 1 & 1-i \\ 0 & 0 & 2+3i }
[/mm]
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen Sie, ob die Vektoren (1, i, 0), (1 + i, -i, 1),
> (0, 1, 1 - i) in [mm]\IC^{3}[/mm] über [mm]\IC[/mm] bzw. [mm]\IR[/mm] linear
> unabhängig sind.
> Hallo,
>
> Bisher habe ich so eine Untersuchung nur mit Vektoren in
> [mm]\IR^{2}[/mm] oder [mm]\IR^{3}[/mm] durchgeführt, aber vom Prinzip sollte
> es genauso funktionieren, nicht wahr?
>
> Ich habe also eine 3x3 Matrix aufgestellt und die
> Determinante ausgerechnet. Hierfür habe ich dann (-2 - 3i)
> heraus und deswegen sollten die Vektoren linear unabhängig
> sein. Stimmt dies?
Hallo,
ich habe Deine Rechnung nicht in Einzelheiten geprüft, erhalte jedoch bei meiner Rechnung auch die lineare Unabhängigkeit.
Gruß . Angela
>
> Hier ist meine Rechnung:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ i & -i & 1 \\ 0 & 1 & 1-i }[/mm] ->
> vertauschen -> [mm]\pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ 0 & 1 & 1-i \\ i & -i & 1 }[/mm]
> -> 1.Zeile * i und subtrahieren von 3.Zeile ->
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ 0 & 1 & 1-i \\ 0 & -1+2i & 1 }[/mm] ->
> 2.Zeile * (-1 + 2i) und addieren auf 3.Zeile ->
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1+i & 0 \\ 0 & 1 & 1-i \\ 0 & 0 & 2+3i }[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Dazu hätte ich mal eine Frage.
Und zwar müsste/könnte man den [mm]\IC^3[/mm] auch als 6-dimensionalen Vektorraum über [mm]\IR[/mm] betrachten und auf lineare Abhängigkeit überprüfen?
Und wenn ja, wie würde das aussehen?
Würde man dann einfach Realteil und Imaginärteil einer Zahl untereinander schreiben und so einen aus den 3-dimensionalen Vektoren 6-dimensionale machen?
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> Dazu hätte ich mal eine Frage.
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> Und zwar müsste/könnte man den [mm]\IC^3[/mm] auch als
> 6-dimensionalen Vektorraum über [mm]\IR[/mm] betrachten und auf
> lineare Abhängigkeit überprüfen?
Hallo,
wenn ich's mir recht überlege: ja.
>
> Und wenn ja, wie würde das aussehen?
Eines Basis des [mm] \IC^3 [/mm] über [mm] \IR [/mm] ist
(1,0,0), (i,0,0), (0,1,0), (0,i,0), (0,0,1), (0,0,i).
Schreibe nun die Vektoren als Koordinatenvektoren bzgl dieser Basis und prüfe ihre Unabhängigkeit.
Die Koordinatenvektoren haben 6 Komponenten und nur reelle Einträge.
Gruß v. Angela
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> Würde man dann einfach Realteil und Imaginärteil einer Zahl
> untereinander schreiben und so einen aus den
> 3-dimensionalen Vektoren 6-dimensionale machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Do 26.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu deinem genauen Problem, die Vektoren sind ueber [mm] \IC [/mm] lin unabhaengig , also erst recht ueber [mm] \IR
[/mm]
Die Vektoren als Vektoren in [mm] \IR^6 [/mm] zu schreiben gibt es keine eindeutige Schreibweise, deine vorgeschlagene ist eine Moeglichkeit.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Do 26.02.2009 | | Autor: | Vuffi-Raa |
Alles klar, dankeschön.
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