Lineare Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind die Elemente [mm] v_1 [/mm] ,..., [mm] v_n [/mm] des Vektorraums V linear abhängig oder linear unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort!
c) V= [mm] \IR^3 v_1 [/mm] = (1,-2,2), [mm] v_2 [/mm] = (-2,2,-1), [mm] v_3 [/mm] = (-3,2,0) |
Also ich steh grad bisschen auf dem Schlauch...
ich hab jetzt ein gleichungssystem draus gemacht und komme auf folgendes:
* l + 2m - 3n = 0
** -2l + 2m + 2n = 0
*** 2l - m = 0 | +m [mm] \Rightarrow [/mm] 2l = m | einsetzen in *
[mm] \Rightarrow [/mm] l + 4l - 3n = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] n = [mm] \bruch{5}{3} [/mm] l einsetzen in **
[mm] \Rightarrow [/mm] -2l + 4l + [mm] \bruch{10}{3}l [/mm] = 0
ich hab das Gefühl das ich hier Murks mache. Aber wenn nicht, dann wären die Vektoren ja linear abhängig, odeR?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 02.11.2012 | | Autor: | lyx |
Hallo,
also die Vektoren sind linear Abhängig. Ich Persönlich würde es aber nicht damit lösen ein Gleichungssystem aufzustellen, sondern die 3 Vektoren in eine Matrix zu schreiben:
A := [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \\ -3 & 2 & 0 }
[/mm]
und dann die Determinante der Matrix A bestimmen. (Was im Fall einer 3 x 3 Matrix mit der Regel von Sarrus recht einfach geht).
Denn es gilt:
det(A) = 0 [mm] \gdw [/mm] lineare Abhängigkeit,
det(A) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] lineare unabhängigkeit.
gruß
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Naja ok, Matrix schön und gut. Nur leider soll es erst einmal durch ein Gleichungssystem geschehen. Wäre schön, wenn du mir an dieser Stelle mit einem Gleichungssystem weiterhelfen könntest.
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Hallo, scharf hinsehen genügt,
[mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2 }+2\vektor{-2 \\ 2 \\ -1 }-\vektor{-3 \\ 2 \\ 0 }=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
a-2b-3c=0
-2a+2b+2c=0
2a-b=0
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Thomas,
> Sind die Elemente [mm]v_1[/mm] ,..., [mm]v_n[/mm] des Vektorraums V linear
> abhängig oder linear unabhängig? Begründen Sie Ihre
> Antwort!
>
> c) V= [mm]\IR^3 v_1[/mm] = (1,-2,2), [mm]v_2[/mm] = (-2,2,-1), [mm]v_3[/mm] =
> (-3,2,0)
> Also ich steh grad bisschen auf dem Schlauch...
> ich hab jetzt ein gleichungssystem draus gemacht und komme
> auf folgendes:
> * l + 2m - 3n = 0
> ** -2l + 2m + 2n = 0
> *** 2l - m = 0 | +m [mm]\Rightarrow[/mm] 2l = m | einsetzen in *
* ist falsch: Es muß [mm] $\ell [/mm] - 2m - 3n = 0$ heißen.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] l + 4l - 3n = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] n = [mm]\bruch{5}{3}[/mm] l
> einsetzen in **
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -2l + 4l + [mm]\bruch{10}{3}l[/mm] = 0
>
> ich hab das Gefühl das ich hier Murks mache. Aber wenn
> nicht, dann wären die Vektoren ja linear abhängig, odeR?
Nein. Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn ein [mm] $\ell\ne [/mm] 0$ die Gleichung löst. Dies ist hier aber nicht der Fall. Also sind die Vektoren linear unabhängig. Allerdings müsstest Du noch den Fehler korrigieren und schauen was dann herauskommt.
Gruß,
Wolfgang
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| Aufgabe | V = [mm] \IR^3
[/mm]
l = (1,1,0), m = (0,1,0), n = (0,1,1) v = (0,1,0) |
Ok, danke dafür. Hab aber gleich noch eine Frage:
oben seht ihr eine Aufgabe. Man erkennt ja sofort, dass 4 Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] immer linear abhängig sein müssen.
Wenn ich aber nen Gleichungssystem draus mache, kommt folgendes raus:
* l = 0
** l + m + n + v = =
*** v = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] l = m = n = v = 0 ... das widerspricht doch aber der linearen abhängigkeit? Das versteh ich nicht ganz.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Fr 02.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> V = [mm]\IR^3[/mm]
> l = (1,1,0), m = (0,1,0), n = (0,1,1) v = (0,1,0)
> Ok, danke dafür. Hab aber gleich noch eine Frage:
>
> oben seht ihr eine Aufgabe. Man erkennt ja sofort, dass 4
> Vektoren aus [mm]\IR^3[/mm] immer linear abhängig sein müssen.
> Wenn ich aber nen Gleichungssystem draus mache, kommt
> folgendes raus:
>
> * l = 0
> ** l + m + n + v = =
> *** v = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] l = m = n = v = 0 ...
Nein, das folgt nicht ! sondern m+n=0, also n=-m.
FRED
> das widerspricht doch
> aber der linearen abhängigkeit? Das versteh ich nicht
> ganz.
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