Lineare Abhängigkeit von Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Elo |
Hallo,
ich verstehe das mit der linearen abhängigkeit von Vektoren im
3 Dimensionalen Raum nicht ganz.
Wenn ich die lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren
überprüfen möchte. z.B. va = (1;3;2) vb = (1,2,5) vc = 1,-4,2)
dann habe ich doch zwei Möglichkeiten, oder?
Möglichkeit 1: Mit Determinante
Aber was sagt das Ergebnis aus wenn es 0 bzw !=0 ist?
Möglichkeit zwei: x*va+y*vb+z*vc=0
Also alle 3 Vektoren ergeben den Nullvektor.
Aber wann verwendet man:
x*va + y*vb=vc?
Wäre sehr dankbar für Aufklärung!!!
Grüsse,
Elo
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
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Determinantenmethode: hast rescht, damit geht's. Aber ein Nachteil: dafür braucht man aus dem [mm] R^n [/mm] genau n Vektoren, damit man die Determinante überhaupt berechnen kann. Dann gilt (so hab ich's mir in der Schule gemerkt): UNgleich null = UNabhängig
2. Methode: auch richtig. Die Vektoren in ein LGS schreiben (noch ne rechte Spalte mit 0 , 0 , 0 dazu, wenn du willst - ist aber nicht nötig, beim Umformen ändert die sich dann eh nie), und dann einfach so loslegen, also wolltest du das LGS lösen. Wenn dann eine oder mehrere Zeilen rausfallen, dann sind die Vektoren lin. abhängig, wenn keine Zeile rausfällt, also nur die triviale Lösung x=y=z=0 existiert, dann sind 'se lin. unabhängig.
Noch Fragen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:26 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Elo |
Ersteinmal vielen Dank für die schnelle Antwort 
Habe noch ein paar Fragen.
Wenn die Gleichung z.B. mit 0=0 aufgeht, dann gibt es
doch unendlich viele Lösungen. Richtig?
Und noch meine Frage wann man
x*va +x*vb = vc verwendet.
Macht man das wenn die Fragestellung folgende ist:
Beweisen Sie das vc eine Linearkombination von va und vc ist?
Oder geht das Grundsätzlich nur, wenn man 4 Vektoren hat und
die Frage ist ob der 4. Vektor im Raum der anderen 3 Vektoren
ist?
Grüsse,
Elo
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Hi nochmal, sorry, deinen andere Gleichung hatte ich vergessen. Da verweise ich mal auf Brigittes Antwort: diese andere Gleichung bedeutet dasselbe, wie der andere Lin.-Abh.-Ansatz mit dem LGS. Vor allem nimmt man diesen Ansatz, wenn gefragt ist: "bestimme, ob sich va als Linearkombination von vb und vc darstellen lässt, und falls ja, gib diese LK an". Dann halt der va = x*vb + y*vc und x und y, falls möglich, bestimmen.
Zu deiner 3- oder 4-Vektoren-Frage: wenn du aus einem [mm] R^n [/mm] mehr als n Vektoren hast, dann sind die auf jeden Fall linear abhängig. Also: haben den [mm] R^3, [/mm] und von dort 4 Vektoren. Wenn 3 dieser Vektoren lin. unabh. sind, dann bilden sie ne Basis, und damit kann jeder andere Vektor des [mm] R^n [/mm] als LK dieser 3 Vektoren dargestellt werden, also auch dieser vierte. Und mit dem Ansatz vd = x*va + y*vb + z*vc kriegst dann eben auch raus, wie man die va, vb, vc miteinander kombinieren muss, damit der vd rauskommt.
Deine 0=0-Frage: welche Gleichung? Wenn du ein ursprünglich quadratisches LGS hattest, und da fliegt ne Zeile mit 0=0 raus, und die restlichen Zeilen produzieren nicht doch noch nen Widerspruch, dann: ja. Unendlich viele Lösungen. Und im Fall des lin-Unabh-Tests mit der Gleichung: wenn man 3 Vektoren aus dem [mm] R^3 [/mm] hatte, und die in so ein LGS reinpackt, und es fliegt ne Zeile raus, dann heißt das "unendlich viele Lösungen" einfach nur, dass es auch Möglichkeiten gibt, die 3 Vektoren zum Nullvektor zu kombinieren, ohne dass alle Koeffizienten =0 sein müssen => lin. abhängig.
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Hallo, Elo!
> Möglichkeit zwei: x*va+y*vb+z*vc=0
> Also alle 3 Vektoren ergeben den Nullvektor.
>
> Aber wann verwendet man:
>
> x*va + y*vb=vc?
Das ist die zweite Methode. Grund:
Wenn Du, wie in der ersten Antwort beschrieben, nicht die triviale Lösung $x=y=z=0$ herausbekommst, sondern eine oder mehrere Zeilen wegfallen, bedeutet dies für die Lösung des linearen Gleichungssystems, dass Du mindestens eine Variable frei wählen kannst und in deren Abhängigkeit Werte für die anderen Variablen bekommst. Dann wählst Du $z=-1$ und erhältst damit $x$ und $y$. Dann bringst Du in der Gleichung
[mm]x*va+y*vb+z*vc=0[/mm]
$z*vc$ auf die andere Seite, so dass
[mm]x*va + y*vb=vc[/mm]
gilt.
> Wäre sehr dankbar für Aufklärung!!!
Ist es damit aufgeklärt?
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Mi 14.07.2004 | | Autor: | Elo |
Vielen Dank e.kandrai und brigitte.
Ihr habt mir sehr geholfen. Jetzt sehe ich langsam
Licht am ende des Tunnels 
Grüsse,
Elo
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