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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:57 Do 23.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{2}|x_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
mit [mm] p=\bruch{1}{2}
[/mm]
Es wird die Begründung verlangt warum das keine Norm im [mm] \IR^{2} [/mm] ist. |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Vermutung ist, das die Dreicksungleichung durch einsetzten von [mm] p=\bruch{1}{2} [/mm] nicht mehr erfüllt ist.
Mein Ansatz schaut deshalb wie folgt aus:
Linke Seite der Dreiecksungleichung:
[mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel_{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{2}(|x_{i}+y_{i}|)^{p})^{\bruch{1}{p}} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{2}(|x_{i}+y_{i}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} [/mm] = [mm] ((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2}
[/mm]
Rechte Seite der Dreiecksungleichung:
[mm] (\summe_{i=1}^{2}|x_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}+(\summe_{i=1}^{2}|y_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}} [/mm] = [mm] (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}
[/mm]
Insgesamt:
[mm] ((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}
[/mm]
Meine Frage ist nun ob denn dieser Ansatz so stimmt?
gruß
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> Gegeben:
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{p}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{2}|x_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}[/mm]
> mit [mm]p=\bruch{1}{2}[/mm]
> Es wird die Begründung verlangt warum das keine Norm im
> [mm]\IR^{2}[/mm] ist.
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Meine Vermutung ist, das die Dreicksungleichung durch
> einsetzten von [mm]p=\bruch{1}{2}[/mm] nicht mehr erfüllt ist.
Hallo,
ja, genau.
Begründe am besten mit einem konkreten Zahlenbeispiel.
Gruß v. Angela
>
> Mein Ansatz schaut deshalb wie folgt aus:
>
> Linke Seite der Dreiecksungleichung:
>
> [mm]\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel_{\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{2}(|x_{i}+y_{i}|)^{p})^{\bruch{1}{p}}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{2}(|x_{i}+y_{i}|)^{\bruch{1}{2}})^{2}[/mm] =
> [mm]((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2}[/mm]
>
> Rechte Seite der Dreiecksungleichung:
>
> [mm](\summe_{i=1}^{2}|x_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}+(\summe_{i=1}^{2}|y_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}}[/mm]
> =
> [mm](\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}[/mm]
>
>
> Insgesamt:
>
> [mm]((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}[/mm]
>
> Meine Frage ist nun ob denn dieser Ansatz so stimmt?
>
> gruß
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Do 23.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo Angela!
Erstmal danke für die schnelle Antwort!
> Hallo,
>
> ja, genau.
>
> Begründe am besten mit einem konkreten Zahlenbeispiel.
Ich würde das gerne allgemein begründen.
> > Insgesamt:
> >
> >
> [mm]((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}[/mm]
Meintest du mit deiner Antwort, das dieser Ansatz hier auch richtig ist?
Ich bin mir nämlich nicht sicher ob die Summen richtig ausgeschrieben sind?
Wenn ich diesen Ansatz auflöse bekomme ich auch äußerst unschöne Ergebnisse.
hier mal:
[mm] x_{1}*y_{2}+y_{1}*x_{2} \le [/mm] 2* [mm] \wurzel{x_{1}*x_{2}*y_{1}*y_{2}}
[/mm]
Wenn man Zahlen einsetzt, scheint die Behauptung falsch zu sein, was ja schon mal gut ist. Logisch könnte ich hier leider nichts schlussfolgern.
Wenn ich den Term noch quadriere und weiter auflöse kommt auch nichts sinnvolleres raus.
Ne Idee was man hier noch machen könnte?
gruß
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> > Begründe am besten mit einem konkreten Zahlenbeispiel.
>
> Ich würde das gerne allgemein begründen.
Hallo FMX87,
warum ist dir da ein Zahlenbeispiel "zu wenig" ?
Man kann eine allgemeine Aussage zwar nicht durch
ein Zahlenbeispiel beweisen - widerlegen kann man
sie aber durch ein einziges Gegenbeispiel.
Es ist ja auch nicht zu beweisen, dass die Dreiecks-
ungleichung in jedem konkreten Beispiel verletzt ist,
sondern eben nur, dass sie nicht immer gilt. "Nicht
immer" bedeutet, dass es wenigstens ein Gegen-
beispiel gibt.
> [mm]x_{1}*y_{2}+y_{1}*x_{2} \le\ 2*\ \wurzel{x_{1}*x_{2}*y_{1}*y_{2}}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich verstehe nicht, wie du auf diese Ungleichung kommst ...
> Wenn man Zahlen einsetzt, scheint die Behauptung falsch zu
> sein, was ja schon mal gut ist. Logisch könnte ich hier
> leider nichts schlussfolgern.
Wenn ich Zahlen einsetze, finde ich auch Beispiele, in
welchen die Dreiecksungleichung erfüllt ist.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 23.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo Al-Chw.
> Begründe am besten mit einem konkreten Zahlenbeispiel.
OK.
> > [mm]x_{1}*y_{2}+y_{1}*x_{2} \le\ 2*\ \wurzel{x_{1}*x_{2}*y_{1}*y_{2}}[/mm]
>
>
> Ich verstehe nicht, wie du auf diese Ungleichung kommst
Habe diese Gleichung: [mm]((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}[/mm]
"vereinfacht". ;)
Ok. Meine Dreiecksungleichung schaut dann aber trotzdem so aus:
[mm]((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}[/mm]
,oder?
Setze ich hier beispielsweise für
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=4
[/mm]
[mm] y_{1}=7
[/mm]
[mm] y_{2}=10
[/mm]
ein, so erhalte ich:
43,17 [mm] \le [/mm] 42,73 und das ist falsch. Ist das somit die Richtige Lösung?
gruß
>
> LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du ein einziges zahlenbsp findest, für das die dreiecksungl nicht gilt, bist du fertig.
allerdings kein TR ergebnis, wähle di [mm] x_i,y_i [/mm] so, dass du die Wurzeln links ganzzahlig hast und rechne rechts dann aus.
etwa x1=1 y1=3 x2=2, y2=7
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Do 23.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo Leduart
> Hallo
> wenn du ein einziges zahlenbsp findest, für das die
> dreiecksungl nicht gilt, bist du fertig.
Ok. Könntest du mir noch die Frage beantworten, ob diese Dreiecksungleichung für p=0,5 überhaupt richtig ist?
[mm] ((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2} [/mm]
> etwa x1=1 y1=3 x2=2, y2=7
Ja, meine Zahlen waren schlecht gewählt.
Habe dann mit deinen Vorgaben:
25 [mm] \le [/mm] 24,99 ???
gruß und danke für die Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist wieder ein TR ergebnis, du brauchst was, wo du die Wurzeln echt abschätzen kannst. vielleicht geht es mit (4,5) (1,15) wenn ich mich nicht verrechnet habe .
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 23.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo
> Hallo
> Das ist wieder ein TR ergebnis, du brauchst was, wo du die
> Wurzeln echt abschätzen kannst. vielleicht geht es mit
> (4,5) (1,15) wenn ich mich nicht verrechnet habe .
> gruss leduart
>
Nochmal die Frage ;) Möchte nur sicher sein.
Das ist also richtig wenn ich diese Norm auf die Dreiecksungleichung beziehe???
[mm] (\summe_{i=1}^{2}|x_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}} [/mm] = [mm] ((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}
[/mm]
Ja, mit x=(4,5) und y=(1,15) gehts ganz gut. Muss aber n bisschen abschätzen sonst kommt auf der rechten Seite auch ein TR Ergebnis.
Also:
45 [mm] \le 24+2*\wurzel{20}+2*\wurzel{15} \le [/mm] (abschätzen) [mm] 24+2*(\wurzel{25}+\wurzel{16}) [/mm] = 24+18 = 42
[mm] \Rightarrow [/mm] 45 [mm] \le [/mm] 42
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
meine Zahlen haben nicht dein ergebnis. links hab ich z. bsp 49
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 23.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Hallo!
Hmm,
also mit:
x=(4,5) und y=(1,15)
[mm] x_{1}=4
[/mm]
[mm] x_{2}=5
[/mm]
[mm] y_{1}=1
[/mm]
[mm] y_{2}=15
[/mm]
erhalte ich eingesetzt in:
[mm] ((|x_{1}+y_{1}|)^{\bruch{1}{2}}+(|x_{2}+y_{2}|)^{\bruch{1}{2}})^{2} \le (\wurzel{x_{1}}+\wurzel{x_{2}})^{2}+(\wurzel{y_{1}}+\wurzel{y_{2}})^{2}
[/mm]
[mm] (\wurzel{4+1}+\wurzel{5+15})^{2} [/mm] = 45 ?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Do 23.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry hab x und y verwechselt und mit (x1,y1) x2,y2) gerechnet.
also vergiß den falschen post!
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Do 23.06.2011 | | Autor: | FMX87 |
Alles klar!
Dankeschön für die Hilfe.
gruß
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