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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 Do 31.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung.
$ \begin{pmatrix} y_{1}' \\ y_{2}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\x^2\end{pmatrix} $ |
man erkennt sofort aus $y_1' = -2y_2 \\ y_2' = 2y_1$ die Lösung
$ f_1 = \begin{pmatrix}cos(2x)\\sin(2x)\end{pmatrix}$
$ f_2 = \begin{pmatrix}-sin(2x)\\cos(2x)\end{pmatrix}$
erhalten $\Phi = \begin{pmatrix} \cos (2x)& -\sin (2x) \\ \sin (2x) & \cos (2x) \end{pmatrix} \Rightarrow \Phi^{-1} = \begin{pmatrix} \cos (2x)& \sin (2x) \\ \-sin (2x) & \cos (2x) \end{pmatrix} \Rightarrow$
Also ist
$\Phi(x)^{-1}*b(x )= \begin{pmatrix} \cos (2x)& \sin (2x) \\ \-sin (2x) & \cos (2x) \end{pmatrix} *\begin{pmatrix}1\\x^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (2x)& \sin (2x)*x^2 \\ \-sin (2x) & \cos (2x) *x^2 \end{pmatrix}$
Integral liefert
$\end{pmatrix} *\begin{pmatrix}1/4 (2 x^2-1) cos(2 x)+sin(x)-x sin(x) \\ (x^2-2) sin(x)+2 x cos(x)+1/2 cos(2 x)\end{pmatrix} = u(x)$
Nun muss noch
$\Psi_0 = \Phi(x)u(x) = \begin{pmatrix}Term \\Term \end{pmatrix} \Rightarrow \Psi = \Psi_0+ \Phi* \begin{pmatrix}c_1\\c_2 \end{pmatrix}$,
Richtig so ?
Lg
Nadia
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Hallo Nadia...,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung.
>
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> [mm]\begin{pmatrix} y_{1}' \\ y_{2}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\x^2\end{pmatrix}[/mm]
>
> man erkennt sofort aus [mm]y_1' = -2y_2 \\ y_2' = 2y_1[/mm] die
> Lösung
>
> [mm]f_1 = \begin{pmatrix}cos(2x)\\sin(2x)\end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> [mm]f_2 = \begin{pmatrix}-sin(2x)\\cos(2x)\end{pmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> erhalten [mm]\Phi = \begin{pmatrix} \cos (2x)& -\sin (2x) \\ \sin (2x) & \cos (2x) \end{pmatrix} \Rightarrow \Phi^{-1} = \begin{pmatrix} \cos (2x)& \sin (2x) \\ \-sin (2x) & \cos (2x) \end{pmatrix} \Rightarrow[/mm]
>
> Also ist
> [mm]\Phi(x)^{-1}*b(x )= \begin{pmatrix} \cos (2x)& \sin (2x) \\ \-sin (2x) & \cos (2x) \end{pmatrix} *\begin{pmatrix}1\\x^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (2x)& \sin (2x)*x^2 \\ \-sin (2x) & \cos (2x) *x^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Integral liefert
>
> [mm]\end{pmatrix} *\begin{pmatrix}1/4 (2 x^2-1) cos(2 x)+sin(x)-x sin(x) \\ (x^2-2) sin(x)+2 x cos(x)+1/2 cos(2 x)\end{pmatrix} = u(x)[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Nun muss noch
> [mm]\Psi_0 = \Phi(x)u(x) = \begin{pmatrix}Term \\Term \end{pmatrix} \Rightarrow \Psi = \Psi_0+ \Phi* \begin{pmatrix}c_1\\c_2 \end{pmatrix}[/mm],
>
> Richtig so ?
>
> Lg
>
>
> Nadia
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Do 31.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Ja ok, Danke !!
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