Lineare DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der linearen DGL
Y´´´ + 4y´ = 0
b) Finden Sie ein partikuläre Lösung der DGL
y´´´ + 4y = [mm] e^{t} [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich habe ein Problem mit der oben aufgeführten DGL. Ich weiss nicht wie ich da rangehen soll um die DGL zu lösen.
Soll ich eine Reduktion der Ordnung vornehmen und dann durch trennung der variablen die DGL lösen ?
Oder ist es doch ein anderer Ansatz?
Wäre echt lieb wenn ihr mir einen Ansatz geben würdet.
Mit freundlichen
Mb Student
|
|
| |
|
Hallo Mbstudent,
> a) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der linearen DGL
>
> Y´´´ + 4y´ = 0
>
> b) Finden Sie ein partikuläre Lösung der DGL
>
> y´´´ + 4y = [mm]e^{t}[/mm]
> Hallo alle zusammen,
>
> ich habe ein Problem mit der oben aufgeführten DGL. Ich
> weiss nicht wie ich da rangehen soll um die DGL zu lösen.
> Soll ich eine Reduktion der Ordnung vornehmen und dann
> durch trennung der variablen die DGL lösen ?
> Oder ist es doch ein anderer Ansatz?
>
> Wäre echt lieb wenn ihr mir einen Ansatz geben würdet.
Nun, stelle die charakteristische Funktion auf.
Siehr dazu evtl. hier:
http://www.mathepedia.de/Allgemeines_Loesungsverfahren.aspx
Für b) wähle einen passenden Ansatz für die Störfunktion [mm] $e^t$ [/mm] rechterhand
>
> Mit freundlichen
>
> Mb Student
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hi schachuzipus,
danke für dein Tip. Ich habe nun die homogene Lösung der DGL bestimmt.
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2}(cos(x)+isin(x))+c_{3}(cos(x)-isin(x))
[/mm]
Leider finde ich keinen Ansatz der mir die Partikuläre Lösung liefert. Im Skript habe ich dazu auch nichts stehen. Kannst du mir noch ein Tipp geben. Wäre nett von dir. Bedanke mich schon im voraus
Gruß
Mbstudent
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
bitte Fragen als Fragen stellen, nicht als Mitteilungen!
> hi schachuzipus,
>
> danke für dein Tip. Ich habe nun die homogene Lösung der
> DGL bestimmt.
>
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm] + [mm]c_{2}(cos(x)+isin(x))+c_{3}(cos(x)-isin(x))[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die char. Gleichung ist doch [mm]\lambda^3+4\lambda=0[/mm], also [mm]\lambda(\lambda^2+4)=0[/mm]
Diese hat die Nullstellen [mm]\lambda=0[/mm] und [mm]\lambda=\pm 2i[/mm]
Also [mm]y_h(t)=c_1+c_2e^{-2it}+c_3e^{2it}[/mm]
Daraus bastel eine reelle Lösung. Wie man aus einem komplexen Fudamentalsystem ein reelles bastelt (oder dann abliest), steht im link bzw. es ist dort allg. vorgerechnet.
Was wird hier aus [mm] $\{e^{(0+2i)t},e^{(0-2i)t}\}$ [/mm] ?
> Leider finde ich keinen Ansatz der mir die Partikuläre
> Lösung liefert. Im Skript habe ich dazu auch nichts
> stehen.
Die Störfunktion ist von der Art [mm]e^{c\cdot{}t}[/mm] mit [mm]c=1[/mm] und [mm]c[/mm] nicht Nullstelle der char. Gleichung.
Also lautet der Ansatz [mm]y_p(t)=A\cdot{}e^{c\cdot{}t}=A\cdot{}e^t[/mm]
Damit nun in die Dgl. und das [mm]A[/mm] ausrechnen, das ist hier sehr einfach ...
> Kannst du mir noch ein Tipp geben. Wäre nett von
> dir. Bedanke mich schon im voraus
>
> Gruß
> Mbstudent
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
