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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare DGl 1. Ordnung
Lineare DGl 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lineare DGl 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:00 Di 01.07.2008
Autor: Serbetli

Aufgabe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Lösen Sie die DGl
y = x(1-x) * y' + [mm] x^{2} [/mm] + 1

Also wir haben eine Lösungsformel für solche Gleichungen indem wir zuerst die homogene Gleichung lösen, dann annehmen, dass c variabel ist und dann c(x) ermitteln.
Die Formel dafür ist [mm] y_{p}(x) [/mm] = [mm] \integral \bruch{s(x)}{e^{F(x) + c}} [/mm] * [mm] e^{F(x)}. [/mm]
Allerdings hab ich keine Ahnung, wie man das Integral [mm] \integral \bruch{x^{2} + 1}{e^{\bruch{1}{2}x^{2} - \bruch{1}{3}x^{3}}}lösen [/mm] soll... Ist es überhaupt nötig, mit dieser Formel zu arbeiten oder gibts auch einen eleganten Weg drumherum der ohen das Integral auskommt?

        
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Lineare DGl 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Di 01.07.2008
Autor: Martinius

Hallo,

[mm] $y'(-x^2+x)=y-x^2-1$ [/mm]

Zuerst löst Du die homogene DGL:

[mm] $y'(-x^2+x)=y$ [/mm]

[mm] $\integral \bruch{1}{y}\;dy=-\integral\bruch{1}{x^2-x}\;dx$ [/mm]

[mm] $ln|y|=-ln\left|\bruch{x-1}{x}\right|+ln|C|$ [/mm]

[mm] $y_H=C*\bruch{x}{x-1}$ [/mm]

Weiter dann mit Variation der Konstanten

[mm] $y=C(x)*\bruch{x}{x-1}$ [/mm]

Einmal ableiten, dann in die inhomogene DGL einsetzen, C'(x) integrieren, einsetzen in [mm] $y=C(x)*\bruch{x}{x-1}$ [/mm] und dann müsste die Lösung da stehen.

LG, Martinius





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Lineare DGl 1. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Di 01.07.2008
Autor: Serbetli

Also erstmal danke für die Antwort, kannst du mir sagen, wie man auf das Integral [mm] \integral \bruch{1}{x^{2}-x} [/mm] kommt? Ich hab das versucht partiell abzuleiten, bin aber dabei auf nichts gekommen, was mir weiterhilft :o(

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Lineare DGl 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Di 01.07.2008
Autor: Martinius

Hallo,

> Also erstmal danke für die Antwort, kannst du mir sagen,
> wie man auf das Integral [mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}[/mm]
> kommt? Ich hab das versucht partiell abzuleiten, bin aber
> dabei auf nichts gekommen, was mir weiterhilft :o(

Wieso partiell ableiten? Es handelt sich doch nur um eine Variable. Und meinst Du nicht: integrieren? Wahrscheinlich: Integration durch Partialbruchzerlegung.

[mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}[/mm]

habe ich mit Hilfe einer Formelsammlung schnell hingeschrieben.

Man kann es aber mit einer Partialbruchzerlegung integrieren:

[mm]\bruch{1}{x^{2}-x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}[/mm]

$1=A*(x-1)+B*x=(A+B)*x-A$

A=-1  und  B=1

[mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}\;dx=\integral \left(\bruch{-1}{x}+\bruch{1}{x-1}\right) \;dx[/mm]

[mm]\integral \bruch{1}{x^{2}-x}\;dx=-ln|x|+ln|x-1|=ln\left|\bruch{x-1}{x} \right|[/mm]



LG, Martinius

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Lineare DGl 1. Ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Di 01.07.2008
Autor: Serbetli

Ah ok... ein typischer Fall von "den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen"....
Danke :-)

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Lineare DGl 1. Ordnung: Vorzeichenfehler?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Di 01.07.2008
Autor: Serbetli

Hallo, sag mal kann das sein, dass du einen Vorzeichenfehler in deiner Antwort gemacht hast?
Also die ursprüngliche Gleichung sieht so aus:
$ y = x(1-x) [mm] \cdot [/mm] y' + [mm] x^{2} [/mm] + 1 $ und das würde ich umformen zu
$ y - [mm] x^{2} [/mm] - 1 = [mm] \red{(x^{2}-x)} \cdot [/mm] y' $ und nicht zu
$ y - [mm] x^{2} [/mm] - 1 = [mm] \red{(-x^{2}+x)} \cdot [/mm] y' $ oder ist das egal? Oder hab ich hier einen Fehler gemacht?
Wenn ich damit weiterrechne, komme ich auf $ [mm] y_{s} [/mm] = -  [mm] \integral \bruch{x^{2}+1}{x^{2}(1-x)^{2}}dx \cdot [/mm] x(1-x) $ , komme hier aber nicht weiter, weil ich das Integral nicht lösen kann.

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Lineare DGl 1. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:03 Di 01.07.2008
Autor: Martinius

Hallo Serbetli,



> Hallo, sag mal kann das sein, dass du einen
> Vorzeichenfehler in deiner Antwort gemacht hast?
>  Also die ursprüngliche Gleichung sieht so aus:
>  [mm]y = x(1-x)* y' + x^{2} + 1[/mm] und das würde ich umformen
> zu
>  [mm]y - x^{2} - 1 = \red{(x^{2}-x)} \cdot y'[/mm] und nicht zu
>  [mm]y - x^{2} - 1 = \red{(-x^{2}+x)} \cdot y'[/mm] oder ist das
> egal?

Egal ist das nicht. Wenn beim Intergrieren ein Logarithmus heraus kommt und ein Vorzeichen falsch ist, bedeutet das den Kehrbruch anstatt des richtigen Bruches.

Multipliziere doch einfach einmal das x mit der Klammer aus:

[mm]y = x(1-x)* y' + x^{2} + 1[/mm]


>Oder hab ich hier einen Fehler gemacht?

Ja, das hast Du wohl. Ich neige zwar auch zu Vorzeichenfehlern aber diesesmal stimmt's bei mir.



>  Wenn ich damit weiterrechne, komme ich auf [mm]y_{s} = - \integral \bruch{x^{2}+1}{x^{2}(1-x)^{2}}dx \cdot x(1-x)[/mm]
> , komme hier aber nicht weiter, weil ich das Integral nicht
> lösen kann.


Ich kann das Integral nicht nachvollziehen. Ein Rechenweg würde wohl helfen.


LG, Martinius

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