Lineare Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 So 16.02.2014 | | Autor: | FelixxDE |
| Aufgabe | x'_{1}(t) = [mm] -4x_{1}(t) [/mm] - [mm] 7x_{2}(t)
[/mm]
x'_{2}(t) = [mm] 2x_{1}(t) [/mm] - [mm] 5x_{2}(t) [/mm] |
Ich habe einen Lösungsvorschlag meines PRofs, den ich leider nicht ganz nachvollziehen kann. Mich irritieren irgendwie die (t)-Funktionen.
Das sind für mich 2 homogene lineare Differentialgleichungen.
Das ist eine DGL der 1. Ordnung.
Eine DGL 1. Ordnung hat die Form y'(x) = h(x)*y(x)+f(x).
Aufgabe: x'_{1}(t) = [mm] -4x_{1}(t) [/mm] - [mm] 7x_{2}(t)
[/mm]
1. Ich muss eine Lösung raten. => Mein erstes Prob. ICh weiß nicht wie ich hier was raten soll.
2. Formel zur Lösung für homogene DGL nutzen: x'_{1}(t) = c*e^-A(x), wobei -A(x) ein Integral darstellt.
3. Berechnung der Lösung.
Ich bin total verwirrt und weiß auch gar nicht, ob ich eine rein homogene DGL habe... DAs kann doch nicht so schwer sein :-(
x'_{1}(t) = [mm] -4x_{1}(t) [/mm] - [mm] 7x_{2}(t) [/mm] | -> die Therme müssten doch alle auf die linke Seite ...
x'_{1}(t) + [mm] 4x_{1}(t) [/mm] + [mm] 7x_{2}(t) [/mm] = 0 |
Hier ist schon Schluss. Wenn ich x' ableiten würde, würde ja 1 stehen bleiben.
Wenn das doch eine DGL 2. Ordnung wäre, dann wüsste ich weiter zu machen, aber die einfachere 1. schaffe ich nicht.
Wie gehe ich mit [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] um? Die sind doch unterschiedlich.
Ich bin für jeden Tipp dankbar. Danke und viele GRüße
Lösungsvorschlag des Profs:
Eigenwerte der Systemmatrix sind: [mm] \lambda_{1}=3 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-2 [/mm] ,(ausrechnen über das charakteristische Polynom). Die zugehörigen Eigenvektoren sind [mm] v_{1}=(1,-1)^T [/mm] und [mm] v_{2}=(7,-2)^T. [/mm] Somit ergibt sich als allgemeine Lösung:
[mm] \vektor{x_{1}(0) \\ x_{2}(0)}(t) [/mm] = [mm] c_{1}\vektor{1 \\ -1} e^{3t}+c_{2}\vektor{7 \\ -1} e^{-2t}
[/mm]
[mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] sind Elemente der Reelen Zahlen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo FelixxDE,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> x'_{1}(t) = [mm]-4x_{1}(t)[/mm] - [mm]7x_{2}(t)[/mm]
> x'_{2}(t) = [mm]2x_{1}(t)[/mm] - [mm]5x_{2}(t)[/mm]
> Ich habe einen Lösungsvorschlag meines PRofs, den ich
> leider nicht ganz nachvollziehen kann. Mich irritieren
> irgendwie die (t)-Funktionen.
>
> Das sind für mich 2 homogene lineare
> Differentialgleichungen.
> Das ist eine DGL der 1. Ordnung.
>
> Eine DGL 1. Ordnung hat die Form y'(x) = h(x)*y(x)+f(x).
>
> Aufgabe: x'_{1}(t) = [mm]-4x_{1}(t)[/mm] - [mm]7x_{2}(t)[/mm]
>
> 1. Ich muss eine Lösung raten. => Mein erstes Prob. ICh
> weiß nicht wie ich hier was raten soll.
> 2. Formel zur Lösung für homogene DGL nutzen: x'_{1}(t)
> = c*e^-A(x), wobei -A(x) ein Integral darstellt.
> 3. Berechnung der Lösung.
>
> Ich bin total verwirrt und weiß auch gar nicht, ob ich
> eine rein homogene DGL habe... DAs kann doch nicht so
> schwer sein :-(
>
> x'_{1}(t) = [mm]-4x_{1}(t)[/mm] - [mm]7x_{2}(t)[/mm] | -> die Therme müssten
> doch alle auf die linke Seite ...
> x'_{1}(t) + [mm]4x_{1}(t)[/mm] + [mm]7x_{2}(t)[/mm] = 0 |
>
> Hier ist schon Schluss. Wenn ich x' ableiten würde, würde
> ja 1 stehen bleiben.
> Wenn das doch eine DGL 2. Ordnung wäre, dann wüsste ich
> weiter zu machen, aber die einfachere 1. schaffe ich
> nicht.
> Wie gehe ich mit [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] um? Die sind doch
> unterschiedlich.
>
[mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] sind die gesuchten Funktionen,
den 2 Differentialgleichungen genügen.
Hier handelt es sich um ein lineares homogenes DGL-System.
>
> Ich bin für jeden Tipp dankbar. Danke und viele GRüße
>
> Lösungsvorschlag des Profs:
>
> Eigenwerte der Systemmatrix sind: [mm]\lambda_{1}=3[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=-2[/mm] ,(ausrechnen über das charakteristische
> Polynom). Die zugehörigen Eigenvektoren sind
Aus den gegebenen Gleichungen und der zugehörigen Systemmatrix
ergeben sich andere Eigenwerte, die soger komplex sind.
Poste daher die richtigen Gleichungen.
> [mm]v_{1}=(1,-1)^T[/mm] und [mm]v_{2}=(7,-2)^T.[/mm] Somit ergibt sich als
> allgemeine Lösung:
>
> [mm]\vektor{x_{1}(0) \\ x_{2}(0)}(t)[/mm] = [mm]c_{1}\vektor{1 \\ -1} e^{3t}+c_{2}\vektor{7 \\ -1} e^{-2t}[/mm]
>
> [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] sind Elemente der Reelen Zahlen.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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