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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare Differentialgleichung
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Lineare Differentialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Do 21.10.2010
Autor: bjoern.g

Aufgabe
y'' + 2y' + 2y = 5sin(x)

y(0) = -4

y'(0) = 4

Hallo ich habe Versucht die Gleichung inkl. Anfangswertproblem zu lösen:

Folgendes:

Homogone Lösung habe ich erstellt:

NS Char.Polynom sind komplex --> [mm] \lambda_{1/2} [/mm] = -1 [mm] \pm [/mm] j

yn = C1 * [mm] e^{-x} [/mm] * cos(x) - C2 * [mm] e^{-x} [/mm] * sin(x)

Anschließend die Vorfaktoren für cos und sin berechnet

y'' + 2y' + 2y = cos(x) [2B+A] + sin(x) [-2A+B]


--> 2B+A = 0 und -2A+B = 5

Somit gilt : B = 1 und A = -2

Nun das AWP:

y(0) = C1 * [mm] e^{-0} [/mm] * cos(0) - C2 * [mm] e^{-0} [/mm] * sin(0) = C1 * [mm] e^{-0} [/mm] * cos(0)

--> y(0) = 4 = C1

y(0)' = C1 [mm] [-e^{-0} [/mm] *cos(x) - [mm] e^{-0} [/mm] *sin(x)] + C2 [ [mm] e^{-0} [/mm] *sin(x) -  
                 [mm] e^{-0} [/mm] *cos(x)]

--> y(0) = -C1-C2  = 4
--> C2 = -8

--> somit müsste die Lösung sein y(x) = [mm] 8e^{-x}*(cosx+sinx) [/mm]

Habe allerdings die Lösung und dort kommt heraus:

y(x) = [mm] (e^{-x} [/mm] +1)(sinx -2cosx)

Jetzt ist die Frage : Wo ist der Fehler???

Habe das leider schon länger nicht mehr gemacht und benötige Hilfe :(

Vielen Dank im Voraus!












        
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Do 21.10.2010
Autor: fencheltee


> y'' + 2y' + 2y = 5sin(x)
>  
> y(0) = -4
>  
> y'(0) = 4
>  Hallo ich habe Versucht die Gleichung inkl.
> Anfangswertproblem zu lösen:
>  
> Folgendes:
>  
> Homogone Lösung habe ich erstellt:
>  
> NS Char.Polynom sind komplex --> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = -1 [mm]\pm[/mm] j
>  
> yn = C1 * [mm]e^{-x}[/mm] * cos(x) - C2 * [mm]e^{-x}[/mm] * sin(x)

das sieht gut aus

>  
> Anschließend die Vorfaktoren für cos und sin berechnet
>  
> y'' + 2y' + 2y = cos(x) [2B+A] + sin(x) [-2A+B]
>  
>
> --> 2B+A = 0 und -2A+B = 5
>
> Somit gilt : B = 1 und A = -2

was hast du da gerechnet?
ich habe als vorfaktor für den sin: 1 und für den cosinus: -2

>  
> Nun das AWP:
>  
> y(0) = C1 * [mm]e^{-0}[/mm] * cos(0) - C2 * [mm]e^{-0}[/mm] * sin(0) = C1 *
> [mm]e^{-0}[/mm] * cos(0)

das awp musst du für die summe aus homogener und spezieller lösung machen!

>  
> --> y(0) = 4 = C1
>  
> y(0)' = C1 [mm][-e^{-0}[/mm] *cos(x) - [mm]e^{-0}[/mm] *sin(x)] + C2 [ [mm]e^{-0}[/mm]
> *sin(x) -  
> [mm]e^{-0}[/mm] *cos(x)]
>  
> --> y(0) = -C1-C2  = 4
>  --> C2 = -8

>  
> --> somit müsste die Lösung sein y(x) =
> [mm]8e^{-x}*(cosx+sinx)[/mm]
>  
> Habe allerdings die Lösung und dort kommt heraus:
>
> y(x) = [mm](e^{-x}[/mm] +1)(sinx -2cosx)
>  
> Jetzt ist die Frage : Wo ist der Fehler???
>  
> Habe das leider schon länger nicht mehr gemacht und
> benötige Hilfe :(
>  
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
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Bezug
                
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Do 21.10.2010
Autor: bjoern.g

Ja das ist Richtig

Vorfaktor für sin ist 1 und für den cos -2 !

Sorry wenn das nicht verständlich war.

Könntest du das mit dem AWP nochmal verdeutlichen, weis nicht wie ich da jetzt vorgehen soll?

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Do 21.10.2010
Autor: fencheltee


> Ja das ist Richtig
>
> Vorfaktor für sin ist 1 und für den cos -2 !
>  
> Sorry wenn das nicht verständlich war.
>  
> Könntest du das mit dem AWP nochmal verdeutlichen, weis
> nicht wie ich da jetzt vorgehen soll?
>  
> Danke!

die homogene lösung hattest du ja richtig:
[mm] y_h={e}^{-x}\\left( c_1,sin\left( x\right) +c_2cos\left( x\right) \right) [/mm]
die partikuläre lösung war bei dir:
[mm] y_p=sin\left( x\right) -2\,cos\left( x\right) [/mm]
also ist deine "gesamte" lösung:
[mm] y=y_h+y_p [/mm]
und damit jetzt das AWP lösen

gruß tee

Bezug
                                
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Do 21.10.2010
Autor: bjoern.g

Achso war das , ok ich probiers morgen mal falls noch eine Frage ist, Poste ich nochmal

Bezug
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