Lineare Fkt. im Banachraum < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Theta |
| Aufgabe | Es seien [mm] (V,\parallel \*\parallel_V), [/mm] (W, [mm] \parallel \*\parallel_V) [/mm] Banachräume. Zeigen Sie, dass für eine lineare Abbildung F: V [mm] \rightarrow [/mm] W die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1. F ist stetig im Nullpunkt
2. F ist stetig
3. F ist gleichmäßig stetig |
Hallo zusammen,
zu obiger Aufgabenstellung mache ich zur Zeit den Beweis und soll zeigen 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1.
3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1:
Ist F gleichmäßig stetig gilt:
Ist [mm] \epsilon [/mm] > 0 gegeben, so gib es [mm] \exists! \delta [/mm] > 0 sodass [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V gilt:
[mm] \parallel x-y\parallel_V [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \parallel F(x)-F(y)\parallel_V [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F ist mit obigem [mm] \delta [/mm] insbesondere stetig im Nullpunkt.
1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2:
Ist F stetig so gibt es zu gegebenem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 sodass gilt:
[mm] \parallel x-y\parallel_V [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow \parallel F(x)-F(y)\parallel_V [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] gilt.
Wähle nun [mm] \parallel x-x'\parallel_V [/mm] < [mm] \delta, [/mm] dann gilt mit x,x', [mm] x_0=0 \in [/mm] V:
[mm] \parallel x-x'\parallel_V [/mm] = [mm] \parallel x-x'-x_0\parallel_V=\parallel (x-x')-x_0\parallel_V <\delta \Rightarrow \parallel F(x-x')-F(x_0)\parallel_V=\parallel F(x-x')\parallel_V [/mm] = [mm] \parallel F(x)-F(x')\parallel_V [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Soweit bin ich gekommen, jetzt fehlt mir aber noch der Schluss. Ich bräuchte deshalb bitte einen Hinweis wie ich aus der Stetigkeit von F die gleichmäßige Stetigkeit folgern kann. Ich habe gelesen, dass die obigen Eigenschaften damit zusammenhängen, dass lineare Funktionen auf einem Banachraum beschränkt sind... weiß aber nicht ob und wie ich das zu meinem Vorteil einsetzen kann.
Würde mich über einen Tipp freuen.
Liebe Grüße,
Theta
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp für 1 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 3:
Zeige, es gibt ein M [mm] \ge [/mm] 0 mit
$||F(x)|| [mm] \le [/mm] M||x||$ für jedes x in V.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Theta |
Danke für die schnelle Antwort und den Tip, leider klingt es für mich som als würde mein Prof auf die o.g. Reihenfolge bestehen, also:
1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1
Ich werde ihm aber noch einmal eine E-Mail schreiben ob wir den Ring auch anders schließen können.
Jedenfalls danke nochmals.
Theta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 25.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Mann o mann ! Dir fehlt also noch 2 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 3.
Wenn 2 gilt , so gilt doch 1 und mit der Implikation 1 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 3 hast Du doch dann auch
2 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ 3.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Theta |
Stimmt. Ich werde mich mal an 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 3 machen.
Danke für die Hilfe.
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