Lineare Funktionen bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen linear sind.
a)f: [mm] \IR \times \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] (x,y)\mapsto [/mm] 3x-4y
b)f: [mm] \IR \times \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] (x,y)\mapsto [/mm] 3x-4y+2
c)f: [mm] \IR \times \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] (x,y)\mapsto [/mm] xy
d)a)f: [mm] \IR \times \IR [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] (x,y)\mapsto x^2-y^2
[/mm]
e) {0,1} [mm] \times [/mm] {0,1} -> {0,1}
(x,y) [mm] \times [/mm] xy |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich einwenig Probleme und würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Wie man lineare Funktionen bestimmt ist mir im allgemeinen klar.
Zu erfüllen sind zwei Bedinungen:
1) f(x+y)=f(x)+f(y)
2)c(fx)=f(cx)
Bei ein Dimensionalen habe ich kein Problem (d.h. wenn [mm] \IR->\IR), [/mm] aber hier ist das ja zwei dimensional.
D.h. ich muss zeigen:
1)f((x,y)+(z,w))=f(x,y)+f(z,w) Ist das richtig?
2) ???? wie das hier sein soll weiß ich leider nicht 
Bei der a) wäre dann die erste Bedingung:
1) f((x,y)+(z,w))=3x-4y
aber wie es mit der anderen Seite geht (f(x,y)+f(z,w))
weiß ich leider nicht.
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Lg Melisa
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 28.11.2010 | | Autor: | alex42 |
Hallo Melisa,
ich bin mir auch nicht ganz sicher, wie die Aufgabe gemeint ist, aber ich kann ja mal ein paar Gedanken dazu schreiben:
Die eine Möglichkeit, die Aufgabe zu verstehen, sehe ich darin, Bilinearität zu prüfen. D.h., die Funktion soll in beiden Argumenten linear sein:
[mm] $f(\alpha x_1+x_2,y) [/mm] = [mm] \alpha f(x_1,y) [/mm] + [mm] f(x_2,y)$
[/mm]
Analog für y. Es wird also eine Komponente festgehalten, dann muss die andere die Bedingungen für Linearität erfüllen, wie du sie aufgeschrieben hast. (Bei einem Nachweis könnte man natürlich auch beide Komponenten gleichzeitig behandeln). Hattet ihr dieses Konzept in der Vorlesung?
Zweite Möglichkeit ("normale Linearität"): Du betrachtest die Funktionen als Abbildungen [mm] $f:\IR^2 \to \IR$. [/mm] Dann kannst du im Urbildraum wie gewohnt auf Vektoren arbeiten. Linearität wäre dann:
[mm] $f(\alpha\vec{x}+\vec{y}) [/mm] = [mm] \alpha f(\vec{x})+f(\vec{y})$,
[/mm]
wobei [mm] $\vec{x}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}$ [/mm] jeweils zwei Komponenten haben.
Der Unterschied zwischen den Möglichkeiten ist in der Homogenität: bei bilinearen Abbildungen werden Skalare nur aus einer Komponenten herausgezogen, bei den Vektoren aus beiden gleichzeitig. Habt ihr dazu etwas gesagt bekommen?
> Bei der a) wäre dann die erste Bedingung:
>
> 1) f((x,y)+(z,w))=3x-4y
>
> aber wie es mit der anderen Seite geht (f(x,y)+f(z,w))
> weiß ich leider nicht.
Wo sind denn hier dein $z$ und $w$ hingekommen? Es müsste denke ich heißen (Möglichkeit 2 oben):
$f((x,y)+(z,w)) = f(x+z,y+w) = 3(x+z)-4(y+w)$
Viele Grüße,
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Alex,
danke erstmal für deine ausführliche Antwort!
Wir müssen es so machen, wie du es in der zweiten Möglichkeit gezeigt hast.
Ich habe es jetzt:
zu a)
1) f((x,y)+(z,y))=3(x+z)-4(y+w)=3x+3z-4y+4w=3x-4y+3z-4w=f(x,y)+f(z,w)
damit ist die erste Bedinung erfüllt.
2) c(f(x,y)+(z,w))=c(3(x+z)-4(y+w))=3c(x+z)-4c(y+w)=3(cx+cz)-4(cx+cz)=f(cx,cy)+f(cz,cw)
somit ist auch die zweite Bedinung erfüllt und die daraus folgt, dass die Funktion linear ist.
b) [mm] f((x,y)+(z,w))=3(x+z)-4(y+w)+2\not= [/mm] 3(x+z)-4(y+w)+4=3x+3z-4y-4w+4=3x-4y+2+3z-4w+2=f(x,y)+f(z,w)
somit ist die Funktion nicht linear.
bei der c und d bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das mit dem z usw. richtig eingesetzt habe, aber ich habe:
c) [mm] f((x,y)+(z,w))=(x+z)*(y+w)\not= [/mm] (xy)+(zw)=f(x,y)+f(z,w)
somit nicht linear!
d) [mm] f((x,y)+(z,w))=(x+z)^2-(y+w)^2^\not=x^2-y^2+z^2-w^2=f(x,y)+f(z,w)
[/mm]
somit nicht linear!
Ist das so korrekt?
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 28.11.2010 | | Autor: | alex42 |
> Ich habe es jetzt:
>
> zu a)
> 1)
> f((x,y)+(z,y))=3(x+z)-4(y+w)=3x+3z-4y+4w=3x-4y+3z-4w=f(x,y)+f(z,w)
>
> damit ist die erste Bedinung erfüllt.
>
> 2)
> c(f(x,y)+(z,w))=c(3(x+z)-4(y+w))=3c(x+z)-4c(y+w)=3(cx+cz)-4(cx+cz)=f(cx,cy)+f(cz,cw)
>
> somit ist auch die zweite Bedinung erfüllt und die daraus
> folgt, dass die Funktion linear ist.
>
> b) [mm]f((x,y)+(z,w))=3(x+z)-4(y+w)+2\not=[/mm]
> 3(x+z)-4(y+w)+4=3x+3z-4y-4w+4=3x-4y+2+3z-4w+2=f(x,y)+f(z,w)
>
>
> somit ist die Funktion nicht linear.
>
> bei der c und d bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das
> mit dem z usw. richtig eingesetzt habe, aber ich habe:
>
> c) [mm]f((x,y)+(z,w))=(x+z)*(y+w)\not=[/mm]
> (xy)+(zw)=f(x,y)+f(z,w)
>
> somit nicht linear!
>
> d)
> [mm]f((x,y)+(z,w))=(x+z)^2-(y+w)^2^\not=x^2-y^2+z^2-w^2=f(x,y)+f(z,w)[/mm]
>
>
> somit nicht linear!
>
> Ist das so korrekt?
Jep, soweit alles richtig und sauber gezeigt/argumentiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
super, danke das du drüber geschaut hast!
bei der letzten habe ich leider überhaupt keine Ahnung, wie ich das machen soll. Hat das was mit identität oder so zu tun?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 28.11.2010 | | Autor: | alex42 |
Ich weiß nicht, wo dort die Identität auftauchen soll. Im Vergleich zu (c) sind ja nur die Räume anders, jetzt können die Werte nur 0 oder 1 sein. Die Linearität kannst du entweder z.B. über eine Fallunterscheidung zeigen oder halt mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
> Im
> Vergleich zu (c) sind ja nur die Räume anders, jetzt
> können die Werte nur 0 oder 1 sein.
Gegenbeispiel:
f((x,y)+(z,w))=f((1,1)+(1,1))=(1+1)*(1+1)=4 [mm] \not= [/mm] 2=(1*1)+(1*1)=f(x,y)+f(z,w)
somit nicht linear.
Würde das gehen?
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 So 28.11.2010 | | Autor: | alex42 |
> Gegenbeispiel:
> f((x,y)+(z,w))=f((1,1)+(1,1))=(1+1)*(1+1)=4 [mm]\not=[/mm]
> 2=(1*1)+(1*1)=f(x,y)+f(z,w)
>
> somit nicht linear.
>
> Würde das gehen?
Dann würde deine Funktion ja Werte außerhalb der Menge ${0,1}$ annehmen. Ich vermute, dass hier der 2-Elementige Körper betrachtet werden soll, also mit $1+1=0$. Damit würde dein Gegenbeispiel nicht funktionieren, da die beiden Seiten gleich sind. Such mal nach anderen Kombinationen.
Gruß,
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
noch eine kurze Frage: x und z, sowie y und w müssen immer beide gleich sein oder? Also ich kann nicht x=1 und z=0 wählen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 So 28.11.2010 | | Autor: | alex42 |
Warum sollen sie gleich sein? Bei den Aufgaben vorher wurde ja nur verlangt, dass $x,z [mm] \in \IR$, [/mm] jetzt also [mm] $x,z\in \{0,1\}$. [/mm] Dass die Werte gleich sein müssen, wird nirgendwo verlangt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
> Warum sollen sie gleich sein? Bei den Aufgaben vorher wurde
> ja nur verlangt, dass [mm]x,z \in \IR[/mm], jetzt also [mm]x,z\in \{0,1\}[/mm].
> Dass die Werte gleich sein müssen, wird nirgendwo
> verlangt.
achso ok
dann hätte ich als Gegenbeispiel:
f((x,y)+(z,w))=f((0,1)+(1,0))=(0+1)*(1+0)=1 [mm] \not= [/mm]
0=(0*1)+(1*0)=f(x,y)+f(z,w)
Lg Melisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 So 28.11.2010 | | Autor: | alex42 |
> dann hätte ich als Gegenbeispiel:
>
> f((x,y)+(z,w))=f((0,1)+(1,0))=(0+1)*(1+0)=1 [mm]\not=[/mm]
> 0=(0*1)+(1*0)=f(x,y)+f(z,w)
Genau an dieses Beispiel habe ich auch gedacht. Formal vielleicht nicht so schön aufgeschrieben, da du in der Gleichung von deiner Notation für allgemeine Argumente (x,y,z,w) zu konkreten Werten wechselst. Aber das nur am Rande ;)
Gruß,
Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:17 Mo 29.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
ok dann schreib ich das anders auf!
Vielen dank für deine Hilfe
|
|
|
|
