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Hi!
Ich muss folgende Aufgabe lösen:
Sei R ein Ring. Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem
[mm] a_{11} x_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{1n} x_{n} [/mm] = 0
.
.
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[mm] a_{m1} x_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{mn} x_{n} [/mm] = 0
mit den Unbestimmten [mm] x_{1},..., x_{n} [/mm] und den Koeffizienten [mm] a_{ij} \in [/mm] R.
Zeigen Sie, dass die Lösungsmenge des obigen Gleichungssystems gleich der Lösungsmenge des Gleichungssystems
[mm] \alpha_{1} a_{11} x_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{1} a_{1n} x_{n} [/mm] = 0
.
.
.
[mm] \alpha_{m} a_{m1} x_{1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_{m} a_{mn} x_{n} [/mm] = 0
ist, falls [mm] \alpha_{i} [/mm] keine Linksnullteiler in R sind.
Ich hab mir jetzt gedacht, dass man ja in jeder Gleichung das [mm] \alpha_{i} [/mm] ausklammern und anschließend durch dieses teilen kann. Dann würde man genau das erste Gleichungssytem erhalten und folglich hätten diese beiden Gleichungssysteme auch die gleiche Lösung. Allerdings frage ich mich, ob dieser Weg nicht zu einfach (oder vielleicht auch falsch) ist...
Ich freue mich über jede Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
Ausklammern kannst du die [mm] $a_i$ [/mm] schon, weil die Elemente von $R$ das Distibutivgesetz erfüllen müssen. Und das scheint mir auch der richtige Weg zu sein.
Aber einfach durch [mm] $a_i$ [/mm] teilen kannst du nicht, schließlich ist ein Ring nur eine Halbgruppe bzgl. der Multiplikation. Das bedeutet, dass das Element [mm] $a_i^{-1}$ [/mm] nicht existieren muss. Deshalb musst du an dieser Stelle anders argumentieren.
Als Tipp: Lies dir nochmal genau die Definition eines Linksnullteilers durch.
Gruß, banachella
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Hm... die Definition eines Linksnullteilers ist doch, wenn z.B. r*s=0 gilt, wobei s [mm] \not=0, [/mm] dann ist r ein Linksnullteiler. Nur weiß ich leider nicht, wie mir das weiterhelfen soll.
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Richtig. Jetzt ist aber $r*s=0$ obwohl $r$ kein Linksnullteiler ist. Was bedeutet das für $s$?
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Ach... schon klar! Hatte irgendwie 'ne Denkblockade! Dann muss der andere Faktor 0 sein!  Und damit ist das GLS unabhängig von dem Lambdas!
Danke für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
Die Aufgabe geht ja noch weiter.
Man soll jetzt ein Beispiel konstruieren, bei dem die Lösungsmengen unterschiedlich sein können, falls eines der [mm] \lambda_{i} [/mm] Linksnullteiler ist.
Wie muss ich dabei verfahren. Ein konkrettes Beispiel angeben?
Danke!
Ich habe die Frage nirgendwo anders gestellt.
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Hallo!
Ja, genau: Du musst ein konkretes Beispiel konstruieren. Mach's dir dabei so einfach wie möglich!
Such dir erstmal einen möglichst naheliegenden Ring und setze $n=m=1$.
Kommst du damit voran?
Gruß, banachella
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