Lineare Gleichungssystem < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen a hat das nebenstehende lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?
[mm] \begin{matrix} x & + & ay & = & 1\\ax & + & y & = & a^2\end{matrix} [/mm] |
die aufgabenstellung verwirrt mich, sodass ich keine ahnung habe, was ich machen muss ?!?
könntet ihr mir auf sdie sprünge helfen ?
gruß smuji
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Hallo,
> Für welche reellen Zahlen a hat das nebenstehende lineare
> Gleichungssystem genau eine Lösung?
>
> [mm]\begin{matrix} x & + & ay & = & 1\\ax & + & y & = & a^2\end{matrix}[/mm]
>
> die aufgabenstellung verwirrt mich, sodass ich keine ahnung
> habe, was ich machen muss ?!?
Es ist immer das gleiche: dass dich eine Aufgabenstellung verwirrt, das ist so lange irrelevant, bis da steht: WAS VERWIRRT DICH DARAN?
Und es ist nicht zu viel verlangt, sich die Mühe zu machen, dies zu formulieren, wenn man nämlich wie du zielführende Hilfestellung erwartet.
> könntet ihr mir auf sdie sprünge helfen ?
Löse das LGS in Abhängigkeit von a. Das bedeutet: betrachte a als reelle Zahl und x und y als Unbekannte (sonst wäre das ja auch kein LGS mehr, ist dir das wenigstens klar?).
Dann muss man bei dieser Art von Aufgaben noch wissen, dass für a=0 die Gleichung
a*x=0
unendlich viele, die Gleichung
a*x=b ; [mm] b\ne{0}
[/mm]
keine Lösung besitzt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Smuji |
ja, sorry, ich wusste halt nicht genau, was der von mir will. wie ich anfangen soll...
was meint er mit genau eine lösung ?!? dass bei x und y der gleiche wert raus kommt?
also nehme ich einfach mal a = 2
x + 2y = 1
2x + y = 4
da kame raus, 4/3 und -2/3
und nun soll ich das solange mit verschiedenen werten machen, bis ich zwei gleiche werte erhalte ?
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Hallo,
> ja, sorry, ich wusste halt nicht genau, was der von mir
> will. wie ich anfangen soll...
Steht doch da. Er will, dass du all jene [mm]a\in\IR[/mm] bestimmst, so dass das obige LGS genau eine Lsg hat ...
>
> was meint er mit genau eine lösung ?!? dass bei x und y
> der gleiche wert raus kommt?
Nein, dass es genau ein [mm](x,y)\in\IR^2[/mm] gibt, das das LGS erfüllt.
Was kann denn i.A. bei einem LGS passieren?
Es kann keine Lsg geben, es kann genau eine Lsg geben oder unendlich viele Lsgen
>
>
> also nehme ich einfach mal a = 2
>
> x + 2y = 1
> 2x + y = 4
>
> da kame raus, 4/3 und -2/3
>
> und nun soll ich das solange mit verschiedenen werten
> machen, bis ich zwei gleiche werte erhalte ?
Du sollst allg. mit dem Parameter a rechnen.
Du musst aufpassen, dass du beim Lösen bzw. Umstellen nach x,y mit dem Parameter nur "erlaubte" Umformungen machst...
Eine Möglichkeit:
Kennst du den Gaußalgorithmus und die Matrixschreibweise für LGSe?
Bringe die Matrix [mm]\pmat{1&a&\mid&1\\a&1&\mid&a^2}[/mm] in Zeilenstufenform.
Dann kannst du die Lösbarkeit in Abh. von a ablesen ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Fr 07.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
wenn der Lehrer nicht erklärt hatte, was mit "genau eine Lösung" gemeint ist, dann finde ich deine Interpretation recht pfiffig, kreativ, originell und deshalb gar nicht so schlecht.
1. Begriff
Schachuzipus hat dir aber ja erklärt, dass mit dem Begriff "Lösung" nicht das einzelne x oder das einzelne y gemeint ist, sondern immer ein Zahlenpaar (x;y). (3;4) (oder (7;-3,2) oder ...) könnte eine Lösungen sein, wenn beim Einsetzen von x=3 und y=4 beide Gleichungen stimmen würden.
Manchmal findet man für eine Aufgabe genau eine Lösung, manchmal mehrere und manchmal keine. Du kennst das wahrscheinlich von quadratischen Gleichungen her.
Hier ist das so ähnlich. Es kann sein, dass es genau ein Zahlenpaar als Lösung gibt oder mehrere oder gar keins. Welcher Fall vorliegt, das hängt von dem Wert von a ab.
2. Lösung
Du betrachtest das a erstmal als feste Zahl und löst das Gleichungssystem, als ob dort statt a eine 7 oder eine -5 stehen würde.
Wenn dir das Schwierigkeiten macht, nimm an, dass statt a dort [mm] \pi [/mm] stehen würde, das ist zwar auch ein Buchstabe, meint aber doch eine bestimmte Zahl.
Nachdem du das geschafft hast, kannst du dir überlegen, für welche Wewrte von a die Lösung (x;y) eindeutig ist.
3. Bemerkung
Wenn die Annahme, dass hier eine Lösung gesucht wird, bei der x=y ist, zutreffen würde, dann wäre das Probieren einzelner a-Werte eine ganz schlechte Methode.
Dann solltest du besser in beiden Gleichungen statt des y ein x einsetzen und die beiden Gleichungen lösen und gucken, unter welcher Bedingung an a die beiden Lösungen (von der ersten und von der zweiten Gleichung) übereinstimmen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Sa 08.02.2014 | | Autor: | mmhkt |
Hallo Sax,
meine Anerkennung und ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") für diesen Beitrag!
Verständnis für die andere Seite, eine gute Erklärung und dem Fragesteller das Gefühl vermittelt, selbst doch was hinkriegen zu können.
Eine Kunst, dem "ahnungslosen Gegenüber" etwas so zu vermitteln, dass dort nicht direkt der "Blockademodus" im Kopf aktiviert wird oder die Resignation auf dem Fuß folgt.
Ebenfalls eine Kunst, als Wissender nicht aus der Haut zu fahren ob der Schwierigkeiten auf der Gegenseite.
Schönen Gruß
mmhkt
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