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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 17.05.2005 | | Autor: | NECO |
Guten Morgen. liebe Mathematiker und Mathematikeri, Ich versuche diese Aufgabe zu lösen. Ich habe mir was überlegt, aber ich weiß nicht ob man so anfangen kann.
Aufgabe : Es sei A eine relle m [mm] \times [/mm] n Matrix und b [mm] \in \IR^{m} [/mm] ein Vektor. Zeigen Sie dass folgende Aussagen äquivalent sind:
a) Das LGS A*x=b ist lösbar.
b) Der Vektor b ist orthogonal zum Lösungsraum des Gleichungssystems [mm] A^{t}*y=0
[/mm]
Ich weiß das der Kern Orthogonal zu allen Vektoren sind. STimmt das? ICh aber Trotzdem damit nichst anfangen. Ich hoffe die Aufgabe zu zeigen. Herzlichen Dank.
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Hallo NECO!
> Guten Morgen.
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> a) Das LGS A*x=b ist lösbar.
>
> b) Der Vektor b ist orthogonal zum Lösungsraum des
> Gleichungssystems [mm]A^{t}*y=0[/mm]
Versuch immer ganz systematisch vorzugehen. Also:
Sei a) wahr. Sei $y$ eine Lösung von $A^Ty=0$, also [mm] $y\in\mathrm{Kern}(A^T)$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass [mm] $\langle b,y\rangle=0$. [/mm] Hast du dafür eine Idee?
Und wie sieht's mit der Rückrichtung aus, hast du dafür schon einen Ansatz?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Di 17.05.2005 | | Autor: | NECO |
a) Das LGS A*x=b ist lösbar.
b) Der Vektor b ist orthogonal zum Lösungsraum des Gleichungssystems [mm] A^{t}*y=0 [/mm]
Ich glaube, es gibt genau nur eine Lösung von a) ne? Weil das inhomogen ist. . Aber das spielt ja keine Rolle. Von a weiß ich dass Die Zeilen oder spalten Vektoren von A linearunabhängig sind. Weil a) lösbar ist. richtig??
ISt die Kern von A [mm] =A^{t} [/mm] ?
Kann man dann sagen dass die Kern zu allem Vektoren von A oder [mm] A^{t} [/mm] orthogonal ist? Danke für deine Mühe
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Hallo!
> Ich glaube, es gibt genau nur eine Lösung von a) ne? Weil
> das inhomogen ist. . Aber das spielt ja keine Rolle. Von a
> weiß ich dass Die Zeilen oder spalten Vektoren von A
> linearunabhängig sind. Weil a) lösbar ist. richtig??
Nicht unbedingt. (Außer, dass war in der Angabe vorausgesetzt). Zum Beispiel ist
[mm] $\pmat{1&0\\0&0}\vektor{1\\0}=\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{1&0\\0&0}\vektor{1\\1}=\vektor{1\\0}$
[/mm]
> ISt die Kern von A [mm]=A^{t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Meinst du damit, dass der Kern von $A$ gleich dem Kern von $A^T$ ist? Das ist im allgemeinen nicht der Fall:
$\pmat{0&1\\0&0}\vektor{1\\0}}=\vektor{0\\0}$, aber $\pmat{0&0\\1&0}\vektor{1\\0}}=\vektor{0\\1}$.
Falls du dir nicht ganz sicher bist, was "Kern" bedeutet: Man sagt, "$x$ liegt im Kern von $A$", falls $Ax=0$.
> Kann man dann sagen dass die Kern zu allem Vektoren von A
> oder [mm]A^{t}[/mm] orthogonal ist?
Was genau meinst du mit "Vektoren von $A$"?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 17.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo. Können wir jetz Richtung Lösungsweg gehen. Danke, ich habe alles geschrieben was ich mir überlegt habe. Das waren meine Angaben. Kannst du bitte jetz verarbeiten.? Danke dir
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Hallo!
Die Hinrichtung hatte ich dir ja eigentlich schon fast aufgeschrieben:
Sei $Ax=b$ lösbar und sei [mm] $y\in\mathrm{Kern}(A^T)$, [/mm] d.h. [mm] $A^T [/mm] y=0$. Dann gilt:
[mm] $\langle [/mm] b [mm] ;y\rangle=\langle Ax;y\rangle=\langle x;A^ty\rangle=\langle x;0\rangle=0$. [/mm]
Also steht $b$ orthogonal auf jedem Vektor $y$, der im Kern von [mm] $A^T$ [/mm] liegt.
Die Rückrichtung:
Sei $Ax=b$ nicht lösbar. Sei [mm] $\tilde [/mm] b$ die orthogonale Projektion von $b$ auf [mm] $\mathrm{Bild}(A)$, [/mm] d.h. es gibt ein [mm] $\tilde x\in [/mm] V$ mit [mm] $A\tilde x=\tilde [/mm] b$ und [mm] $b-\tilde [/mm] b$ steht orthogonal auf [mm] $\mathrm{Bild}(A)$. [/mm] Weil $Ax=b$ nicht lösbar ist, ist [mm] $\tilde b-b\ne [/mm] 0$. Dann gilt für jedes [mm] $x\in [/mm] V$:
[mm] $\langle A^T(b-\tilde b);x\rangle=\langle b-\tilde b;Ax\rangle=0$, [/mm] weil ja [mm] $Ax\in\mathrm{Bild}(A)$ [/mm] und [mm] $b-\tilde [/mm] b$ darauf senkrecht steht.
Weil [mm] $\langle A^T(b-\tilde b);x\rangle=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] V$ ist [mm] $A^T(b-\tilde [/mm] b)=0$. Also liegt [mm] $b-\tilde [/mm] b$ im Kern von [mm] $A^T$. [/mm] Damit kann $b$ nicht senkrecht auf dem Kern von [mm] $A^T$ [/mm] stehen, denn dann müsste [mm] $b=\tilde [/mm] b$ sein, schließlich steht [mm] $\tilde [/mm] b$ senkrecht auf [mm] $\mathrm{Kern}(A^T)$ [/mm] nach dem ersten Teil!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 18.05.2005 | | Autor: | NECO |
Danke erstmal. Die Hinrichtung habe ich verstanden.
Die Rückrichtung nich so ganz. Weil die orthogonale Projektion mir nicht so klar ist. Kannst du bitte dazu was sagen. Wieso das man macht.
Außerdem du hast da vas von V, V ist [mm] \IR^{m}. [/mm] ne?
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Hallo!
> Danke erstmal. Die Hinrichtung habe ich verstanden.
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> Die Rückrichtung nich so ganz. Weil die orthogonale
> Projektion mir nicht so klar ist. Kannst du bitte dazu was
> sagen. Wieso das man macht.
Im Prinzip mache ich das, um das nächstgelegene [mm] $\tilde [/mm] b$ zu finden, für das [mm] $Ax=\tilde [/mm] b$ eine Lösung hat. Außerdem hat das den Vorteil, dass [mm] $b-\tilde [/mm] b$ senkrecht auf dem Bild von $A$ steht, und das nutze ich dann ja aus.
> Außerdem du hast da vas von V, V ist [mm]\IR^{m}.[/mm] ne?
Zum Beispiel. Ich wusste nicht genau, welchen Vektorraum du haben wolltest, deshalb habe ich einfach mal einen allgemeinen genommen.
Ist es dir jetzt ein bisschen klarer geworden?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Do 19.05.2005 | | Autor: | NECO |
Ich danke dir. Ich versuche auch von anderen die Aufgaben zu lösen, bis her habe ich nur ein Antwort gegebe. 
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