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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Di 11.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe 1 | Zeige, dass
[tex]2x+3x=4[/tex]
[tex]-8x-12y=16[/tex]
keine Lösung besitzt. Beschreibe den Lösungsraum des zugehörigen homogenen Gleichungssystems. |
| Aufgabe 2 | Für welche [tex]c[/tex] ist
[tex]x-cy=1[/tex]
[tex](c-1)x-2y=1[/tex]
(i) eindeutig lösbar, (ii) lösbar, aber nicht eindeutig, (iii) nicht lösbar? |
Hallo.
Ich habe ein paar Probleme mit den beiden Aufgaben.
Mal zu Aufgabe 1:
Also beim ersten Teil hab ich mir überlegt:
Wenn ich die erste Gleichung mit [tex]-4[/tex] multipliziere, dann erhalte ich [tex]-8x-12y=-16[/tex].
Dann sind die beiden Gleichungen auf der linken Seite gleich, auf der rechten aber nicht, also widersprechen sie sich und das Gleichungssystem hat keine Lösung.
Stimmt das so?
Beim zweiten Teil komm ich nicht so recht voran.
Das zugehörige homogene System ist ja:
[tex]2x+3x=0[/tex]
[tex]-8x-12y=0[/tex]
Ich habe jetzt versucht, das mit Einsetzungsverfahren zu lösen.
Wenn ich die erste Gleichung nach [tex]x[/tex] auflöse, dann erhalte ich [mm] x=-\bruch{3}{2}y.
[/mm]
Wenn ich das jetzt in die zweite Gleichung einsetze, dann erhalte ich [tex]12y-12y=0[/tex], also [tex]0=0[/tex].
Das ist ja nun eine wahre Aussage, aber was sagt es mir über die Lösung?
Habe ich jetzt unendlich viele Lösungen?
Oder muss ich das System anders lösen?
Zu Aufgabe 2:
Hier weiß ich irgendwie gar nicht so recht, wie ich ansetzen soll.
Was ich rausgefunden habe, ist, dass wenn ich [tex]c=2[/tex] wähle, dass die beiden Gleichungen dann identisch sind.
Wenn die beiden identisch sind, dann heißt das doch, dass es unendlich viele Zahlenpaare [tex](x,y)[/tex] als Lösung gibt, weil ja mit jeder Lösung beide Gleichungen immer erfüllt werden, da sie ja gleich sind.
Das müsste doch dann dem Fall (ii) (lösbar, aber nicht eindeutig) entsprechen, oder?
Und ich glaube, Fall (iii) (nicht lösbar) gibt es gar nicht, oder?
Dazu müssten sich die beiden Gleichungen doch widersprechen, also auf der linken Seite müssten die Gleichungen gleich sein, aber auf der rechten nicht. Aber das kann ich ja nicht hinbekommen, da die rechte Seite ja in beiden Gleichungen fest vorgegeben ist.
Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, wann es keine Lösung gibt?
Ja, wenn das soweit richtig ist, dann bliebe ja für Fall (i) (eindeutig lösbar), dass das für alle [mm] c\not=2 [/mm] der Fall ist.
Ist das richtig?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Di 11.08.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass
>
> [tex]2x+3x=4[/tex]
Es soll wohl [tex]2x+3y=4[/tex] lauten
>
> [tex]-8x-12y=16[/tex]
>
> keine Lösung besitzt. Beschreibe den Lösungsraum des
> zugehörigen homogenen Gleichungssystems.
> Für welche [tex]c[/tex] ist
>
> [tex]x-cy=1[/tex]
>
> [tex](c-1)x-2y=1[/tex]
>
> (i) eindeutig lösbar, (ii) lösbar, aber nicht eindeutig,
> (iii) nicht lösbar?
> Hallo.
>
> Ich habe ein paar Probleme mit den beiden Aufgaben.
>
> Mal zu Aufgabe 1:
>
> Also beim ersten Teil hab ich mir überlegt:
> Wenn ich die erste Gleichung mit [tex]-4[/tex] multipliziere, dann
> erhalte ich [tex]-8x-12y=-16[/tex].
> Dann sind die beiden Gleichungen auf der linken Seite
> gleich, auf der rechten aber nicht, also widersprechen sie
> sich und das Gleichungssystem hat keine Lösung.
> Stimmt das so?
Du meinst das richtige, hast Dich aber etwas unglücklich ausgedrückt.
Du erhälst die beiden Gleichungen
[tex]-8x-12y=-16[/tex]
und
[tex]-8x-12y=16[/tex].
Aus diesen folgt: 16 = -16. Somit hat das Gl.-system keine Lösung.
>
> Beim zweiten Teil komm ich nicht so recht voran.
> Das zugehörige homogene System ist ja:
>
> [tex]2x+3x=0[/tex]
Richtig:
[tex]2x+3y=0[/tex]
>
> [tex]-8x-12y=0[/tex]
>
> Ich habe jetzt versucht, das mit Einsetzungsverfahren zu
> lösen.
> Wenn ich die erste Gleichung nach [tex]x[/tex] auflöse, dann erhalte
> ich [mm]x=-\bruch{3}{2}y.[/mm]
> Wenn ich das jetzt in die zweite Gleichung einsetze, dann
> erhalte ich [tex]12y-12y=0[/tex], also [tex]0=0[/tex].
> Das ist ja nun eine wahre Aussage, aber was sagt es mir
> über die Lösung?
(x,y) ist eine Lösung des homogene Gl.-systems [mm] \gdw[/mm] [mm]x=-\bruch{3}{2}y[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]y=-\bruch{2}{3}x[/mm]
Das sind also alle Punkte auf der Geraden mit der Gleichung [mm]y=-\bruch{2}{3}x[/mm]
> Habe ich jetzt unendlich viele Lösungen?
Ja
> Oder muss ich das System anders lösen?
>
>
> Zu Aufgabe 2:
>
> Hier weiß ich irgendwie gar nicht so recht, wie ich
> ansetzen soll.
>
> Was ich rausgefunden habe, ist, dass wenn ich [tex]c=2[/tex] wähle,
> dass die beiden Gleichungen dann identisch sind.
> Wenn die beiden identisch sind, dann heißt das doch, dass
> es unendlich viele Zahlenpaare [tex](x,y)[/tex] als Lösung gibt, weil
> ja mit jeder Lösung beide Gleichungen immer erfüllt
> werden, da sie ja gleich sind.
> Das müsste doch dann dem Fall (ii) (lösbar, aber nicht
> eindeutig) entsprechen, oder?
So ist es
>
> Und ich glaube, Fall (iii) (nicht lösbar) gibt es gar
> nicht, oder?
Wähle mal c = -1 !!!
Jetzt untersuche den Fall $c [mm] \not=-1$ [/mm] und $c [mm] \not=2$
[/mm]
FRED
> Dazu müssten sich die beiden Gleichungen doch
> widersprechen, also auf der linken Seite müssten die
> Gleichungen gleich sein, aber auf der rechten nicht. Aber
> das kann ich ja nicht hinbekommen, da die rechte Seite ja
> in beiden Gleichungen fest vorgegeben ist.
> Oder gibt es noch eine andere Möglichkeit, wann es keine
> Lösung gibt?
>
> Ja, wenn das soweit richtig ist, dann bliebe ja für Fall
> (i) (eindeutig lösbar), dass das für alle [mm]c\not=2[/mm] der
> Fall ist.
>
> Ist das richtig?
>
> LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 11.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo FRED.
> > Zeige, dass
> >
> > [tex]2x+3x=4[/tex]
>
>
> Es soll wohl [tex]2x+3y=4[/tex] lauten
Oh ja.
> Wähle mal c = -1 !!!
Ok, hab ich gemacht.
Dann erhalte ich so einen Gleichungswiderspruch wie oben.
Also habe ich für [tex]c=1[/tex] den Fall (iii) (nicht lösbar).
> Jetzt untersuche den Fall [mm]c \not=-1[/mm] und [mm]c \not=2[/mm]
Also ich hab jetzt mal willkürlich ein paar Werte für [tex]c[/tex] gewählt, und bekomme immer eindeutige Lösungen.
Aber dadurch kann ich ja nicht folgern, dass das für alle [mm]c \not=-1[/mm] und [mm]c \not=2[/mm] immer so ist, oder?
Oder anders gefragt?
Wie kommt man auf [mm]c \not=-1[/mm]?
[mm]c \not=2[/mm] hab ich quasi durch ausprobieren erhalten, aber ich kann ja nicht für alle Werte aus [mm] \IR [/mm] das ausprobieren, welcher Fall es nun ist.
Wie genau muss ich es machen?
LG, Nadine
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Hallo Pacapear,
> Hallo FRED.
>
>
>
> > > Zeige, dass
> > >
> > > [tex]2x+3x=4[/tex]
> >
> >
> > Es soll wohl [tex]2x+3y=4[/tex] lauten
>
> Oh ja.
>
>
>
> > Wähle mal c = -1 !!!
>
> Ok, hab ich gemacht.
> Dann erhalte ich so einen Gleichungswiderspruch wie oben.
> Also habe ich für [tex]c=1[/tex] den Fall (iii) (nicht lösbar).
>
>
>
> > Jetzt untersuche den Fall [mm]c \not=-1[/mm] und [mm]c \not=2[/mm]
>
> Also ich hab jetzt mal willkürlich ein paar Werte für [tex]c[/tex]
> gewählt, und bekomme immer eindeutige Lösungen.
> Aber dadurch kann ich ja nicht folgern, dass das für alle
> [mm]c \not=-1[/mm] und [mm]c \not=2[/mm] immer so ist, oder?
Anhand von ein paar Beispielen kannst Du das nicht, das ist richtig.
Du hast aber für [mm]c=-1[/mm] keine Lösung und
für [mm]c=2[/mm] ist dieses Gleichungssystem mehrdeutig lösbar.
Demnach ist das Gleichungssystem für [mm]c \notin \left\{-1,2\right\}[/mm] eindeutig lösbar.
>
> Oder anders gefragt?
> Wie kommt man auf [mm]c \not=-1[/mm]?
> [mm]c \not=2[/mm] hab ich quasi durch
> ausprobieren erhalten, aber ich kann ja nicht für alle
> Werte aus [mm]\IR[/mm] das ausprobieren, welcher Fall es nun ist.
> Wie genau muss ich es machen?
>
>
Entweder Du untersuchst, wann die Determinante der Matrix
[mm]\pmat{1 & -c \\ c-1 & -2}[/mm]
verschwindet (gleich Null ist)
oder Du machst das über das Einsetzungsverfahren.
[mm]x-c*y=1 \Rightarrow x = 1+c*y[/mm]
Dies liefert:
[mm]\left(c-1\right)*x-2*y=1[/mm]
[mm]\gdw \left(c-1\right)*\left(c*y+1\right)-2*y=1[/mm]
[mm]\gdw \left( \ \left(c-1\right)*c-2 \right)*y=1-\left(c-1\right)=2-c[/mm]
Nun, untersuche den Ausdruck
[mm]\left(c-1\right)*c-2[/mm]
Ist dieser Ausdruck von Null verschieden,
so hast Du damit eine eindeutige Lösung.
>
> LG, Nadine
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo MathePower.
> Anhand von ein paar Beispielen kannst Du das nicht, das ist
> richtig.
>
> Du hast aber für [mm]c=-1[/mm] keine Lösung und
> für [mm]c=2[/mm] ist dieses Gleichungssystem mehrdeutig lösbar.
>
> Demnach ist das Gleichungssystem für [mm]c \notin \{-1,2\}[/mm]
> eindeutig lösbar.
Aber dass $c$ NUR für [mm]c \notin \{-1,2\}[/mm] eindeutig lösbar ist, kann ich immer noch nicht sagen, oder?
> Entweder Du untersuchst, wann die Determinante der Matrix
>
> [mm]\pmat{1 & -c \\ c-1 & -2}[/mm]
>
> verschwindet (gleich Null ist)
Determinaten hatten wir noch nicht... ist der Anfang der LA1-Vorlesung.
> oder Du machst das über das Einsetzungsverfahren.
>
> [mm]x-c*y=1 \Rightarrow x = 1+c*y[/mm]
>
> Dies liefert:
>
> [mm]\left(c-1\right)*x-2*y=1[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(c-1\right)*\left(c*y+1\right)-2*y=1[/mm]
>
> [mm]\gdw \left( \ \left(c-1\right)*c-2 \right)*y=1-\left(c-1\right)=2-c[/mm]
Also du hast jetzt die eine Gleichung nach $x$ und die andere Gleichung nach $y$ aufgelöst, oder?
> Nun, untersuche den Ausdruck
>
> [mm]\left(c-1\right)*c-2[/mm]
>
> Ist dieser Ausdruck von Null verschieden,
> so hast Du damit eine eindeutige Lösung.
Hmm, warum ist das so? Sonst würde da stehen $0=2-c [mm] \Rightarrow [/mm] c=2$. Dann wär ich ja wieder oben...
Und wenn der Ausdruck $0$ wird, was hab ich denn dann? Mehrdeutig lösbar, gar nicht lösbar?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo MathePower.
>
>
>
> > Anhand von ein paar Beispielen kannst Du das nicht, das ist
> > richtig.
> >
> > Du hast aber für [mm]c=-1[/mm] keine Lösung und
> > für [mm]c=2[/mm] ist dieses Gleichungssystem mehrdeutig
> lösbar.
> >
> > Demnach ist das Gleichungssystem für [mm]c \notin \{-1,2\}[/mm]
> > eindeutig lösbar.
>
> Aber dass [mm]c[/mm] NUR für [mm]c \notin \{-1,2\}[/mm] eindeutig lösbar
> ist, kann ich immer noch nicht sagen, oder?
>
>
Was heisst denn hier NUR? :D Du hast ja jetzt gezeigt, dass für ein c, das weder -1 noch 2 ist, das System lösbar ist... also für jede Zahl ausser diese 2.. ist das für dich wenig? ^^
>
> > Entweder Du untersuchst, wann die Determinante der Matrix
> >
> > [mm]\pmat{1 & -c \\ c-1 & -2}[/mm]
> >
> > verschwindet (gleich Null ist)
>
> Determinaten hatten wir noch nicht... ist der Anfang der
> LA1-Vorlesung.
Das wird kommen.. dann merkst du, dass dies sehr nützlich ist für solche Aufgaben
>
>
>
> > oder Du machst das über das Einsetzungsverfahren.
> >
> > [mm]x-c*y=1 \Rightarrow x = 1+c*y[/mm]
> >
> > Dies liefert:
> >
> > [mm]\left(c-1\right)*x-2*y=1[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \left(c-1\right)*\left(c*y+1\right)-2*y=1[/mm]
> >
> > [mm]\gdw \left( \ \left(c-1\right)*c-2 \right)*y=1-\left(c-1\right)=2-c[/mm]
>
> Also du hast jetzt die eine Gleichung nach [mm]x[/mm] und die andere
> Gleichung nach [mm]y[/mm] aufgelöst, oder?
>
>
>
> > Nun, untersuche den Ausdruck
> >
> > [mm]\left(c-1\right)*c-2[/mm]
> >
> > Ist dieser Ausdruck von Null verschieden,
> > so hast Du damit eine eindeutige Lösung.
>
> Hmm, warum ist das so? Sonst würde da stehen [mm]0=2-c \Rightarrow c=2[/mm].
> Dann wär ich ja wieder oben...
> Und wenn der Ausdruck [mm]0[/mm] wird, was hab ich denn dann?
> Mehrdeutig lösbar, gar nicht lösbar?
>
>
Nun, wenn die linke seite 0 ist, bedeutet dies doch, dass (c-1)*c - 2 = 0 ist. Das ist eine quadratische Gleichung mit Lösungen [mm] c_{1} [/mm] = 2 und [mm] c_{2} [/mm] = -1. Wenn du jetzt also deine Lösungen in die rechte Seite der Gleichung einsetzen willst, erhälst du:
1) 0 = 2 - [mm] c_{1} [/mm] = 2 - 2 = 0
2) 0 = 2 - [mm] c_{2} [/mm] = 2 + 1 = 3
Im Fall 1) hast du keine eindeutige Lösung (0 = 0), im Fall 2) hast du gar keine Lösung (0 = 3). Also System eindeutig Lösbar für c [mm] \not\in [/mm] {-1,2}.
Ist es dir jetzt klar? :)
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro.
> Was heisst denn hier NUR? :D Du hast ja jetzt gezeigt, dass
> für ein c, das weder -1 noch 2 ist, das System lösbar
> ist... also für jede Zahl ausser diese 2.. ist das für
> dich wenig? ^^
Hmm, also ich hatte ja nicht gezeigt, dass das Ding für jedes [mm] c\notin\{-1,2\} [/mm] eine eindeutige Lösung liefert, sondern ja nur, dass ich für [mm] c\notin\{-1,2\} [/mm] keine eindeutige Lösung erhalte.
Aber ich dachte, dass heißt noch lange nicht, dass es nicht auch noch andere Werte geben kann, für die ich keine eindeutige Lösung erhalte...
> Nun, wenn die linke seite 0 ist, bedeutet dies doch, dass
> (c-1)*c - 2 = 0 ist. Das ist eine quadratische Gleichung
> mit Lösungen [mm]c_{1}[/mm] = 2 und [mm]c_{2}[/mm] = -1. Wenn du jetzt also
> deine Lösungen in die rechte Seite der Gleichung einsetzen
> willst, erhälst du:
>
> 1) 0 = 2 - [mm]c_{1}[/mm] = 2 - 2 = 0
> 2) 0 = 2 - [mm]c_{2}[/mm] = 2 + 1 = 3
>
> Im Fall 1) hast du keine eindeutige Lösung (0 = 0), im
> Fall 2) hast du gar keine Lösung (0 = 3). Also System
> eindeutig Lösbar für c [mm]\not\in[/mm] {-1,2}.
>
> Ist es dir jetzt klar? :)
Ja, so hab ichs dann auch irgendwie gemacht, hab dann die Werte für $c$ aber in mein Ausgangsgleichungssystem eingesetzt, das geht doch auch, oder?
Mir ist nur nicht ganz klar, woher ich die Idee nehme, das Gleichungssystem erst nach beiden Variablen aufzulösen, und dass zu gucken, dass der eine Faktor vor einer Variablen nicht Null sein darf.
Die Logik/Zusammenhang dahinter ist mir noch nicht so wirklich klar...
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
> Hallo Amaro.
>
>
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> > Was heisst denn hier NUR? :D Du hast ja jetzt gezeigt, dass
> > für ein c, das weder -1 noch 2 ist, das System lösbar
> > ist... also für jede Zahl ausser diese 2.. ist das für
> > dich wenig? ^^
>
> Hmm, also ich hatte ja nicht gezeigt, dass das Ding für
> jedes [mm]c\notin\{-1,2\}[/mm] eine eindeutige Lösung liefert,
> sondern ja nur, dass ich für [mm]c\notin\{-1,2\}[/mm] keine
> eindeutige Lösung erhalte.
> Aber ich dachte, dass heißt noch lange nicht, dass es
> nicht auch noch andere Werte geben kann, für die ich keine
> eindeutige Lösung erhalte...
Die letzte Zeile lautet ja [mm] $(c+1)\cdot{}(c-2)\cdot{}y=2-c$
[/mm]
Was ist denn, wenn [mm] $c\neq [/mm] -1,2$ ist? Dann ist [mm] $(c+1)(c-2)\neq [/mm] 0$ und du darsfst dadurch teilen.
Damit bekommst du doch ne eindeutige Lösung für y, nämlich [mm] $y=\frac{2-c}{(c+1)(c-2)}=...$ [/mm] (und damit durch weiters Einsetzen in die 1.Gleichung für x)
>
>
>
> > Nun, wenn die linke seite 0 ist, bedeutet dies doch, dass
> > (c-1)*c - 2 = 0 ist. Das ist eine quadratische Gleichung
> > mit Lösungen [mm]c_{1}[/mm] = 2 und [mm]c_{2}[/mm] = -1. Wenn du jetzt also
> > deine Lösungen in die rechte Seite der Gleichung einsetzen
> > willst, erhälst du:
> >
> > 1) 0 = 2 - [mm]c_{1}[/mm] = 2 - 2 = 0
> > 2) 0 = 2 - [mm]c_{2}[/mm] = 2 + 1 = 3
> >
> > Im Fall 1) hast du keine eindeutige Lösung (0 = 0), im
> > Fall 2) hast du gar keine Lösung (0 = 3). Also System
> > eindeutig Lösbar für c [mm]\not\in[/mm] {-1,2}.
> >
> > Ist es dir jetzt klar? :)
>
> Ja, so hab ichs dann auch irgendwie gemacht, hab dann die
> Werte für [mm]c[/mm] aber in mein Ausgangsgleichungssystem
> eingesetzt, das geht doch auch, oder?
>
> Mir ist nur nicht ganz klar, woher ich die Idee nehme, das
> Gleichungssystem erst nach beiden Variablen aufzulösen,
> und dass zu gucken, dass der eine Faktor vor einer
> Variablen nicht Null sein darf.
> Die Logik/Zusammenhang dahinter ist mir noch nicht so
> wirklich klar...
Naja, hattet ihr denn schon den Gaußalgorithmus. Damit bringst du ein LGS in sog. Zeilenstufenform durch sukzessives Eliminieren von Variablen, hier steht am Ende ja das LGS
[mm] $\vmat{x&-&c\cdot{}y&=&1\\&&(c-2)\cdot{}(c+1)\cdot{}y&=&2-c}$
[/mm]
Wenn du das LGS in eine solche Zeilenstufenform gebracht hast, kannst du die Lösbarkeit - beginnend mit der letzten Zeile - untersuchen (mit ein wenig Übung auch direktemeng ablesen)
>
>
>
> LG, Nadine
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo schachuzipus.
> Die letzte Zeile lautet ja [mm](c+1)\cdot{}(c-2)\cdot{}y=2-c[/mm]
>
> Was ist denn, wenn [mm]c\neq -1,2[/mm] ist? Dann ist [mm](c+1)(c-2)\neq 0[/mm]
> und du darsfst dadurch teilen.
>
>
> Damit bekommst du doch ne eindeutige Lösung für y,
> nämlich [mm]y=\frac{2-c}{(c+1)(c-2)}=...[/mm] (und damit durch
> weiters Einsetzen in die 1.Gleichung für x)
Ja, ok, ich denke, dass ist mir nun klar.
> Naja, hattet ihr denn schon den Gaußalgorithmus.
Nö 
Danke an alle Helfer!
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