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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 12.01.2010 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Seinen a,b,c [mm] \in \IR [/mm] beliebige Elemente. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
x - y + 3z -4w = a
2x + y - 2z +w = b
2y- 3z +4w =c
1) Berechnen Sie die Lösungsmente im Fall (a,b,c) = (1,1,2)
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Ich habe die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet und durch Zeilenumformungen versucht zum Zeilenstufenform zu kommen. Aber irgendwie klappt es nicht. Es scheint so als eine andere Gleichung fehlt, da es ja 4 variabeln aber nur 3 gleichungen gibt. Habt jemand eine Idee wie ich die Lösungsmenge für den gegebenen Fall finden kann?
Vielen Dank im Vorraus.
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> Seinen a,b,c [mm]\in \IR[/mm] beliebige Elemente. Wir betrachten das
> lineare Gleichungssystem
> x - y + 3z -4w = a
> 2x + y - 2z +w = b
> 2y- 3z +4w =c
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> 1) Berechnen Sie die Lösungsmente im Fall (a,b,c) =
> (1,1,2)
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> Ich habe die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet und
> durch Zeilenumformungen versucht zum Zeilenstufenform zu
> kommen. Aber irgendwie klappt es nicht. Es scheint so als
> eine andere Gleichung fehlt, da es ja 4 variabeln aber nur
> 3 gleichungen gibt. Habt jemand eine Idee wie ich die
> Lösungsmenge für den gegebenen Fall finden kann?
Hallo,
Du hast hier ein LGS, welches mehr Variablen als Gleichungen hat und somit nicht eindeutig lösbar ist.
Poste die Koeffizientenmatrix und Deine ZSF, dann kann man Dir zeigen, wie es weitergeht.
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank im Vorraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mi 13.01.2010 | | Autor: | matt101 |
Die Koeffizientenmatrix habe aus den Gleichungen zusammengesetzt.
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 & -4 & | 1 \\ 2 & 1 & -2 & 1 & |-1 \\ 0 & 2 & -3 & 4 & | 2 }
[/mm]
und nach zeilenumformungen erhalte ich
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & | 3 \\ 2 & \bruch{1}{2} & \bruch{-5}{4} & 0 & |\bruch{1}{2} \\ -8 & 0 & 2 & 4 & | 0 }
[/mm]
Aber das kann ich auch nicht lösen da es keine 4x4 matrix ist oder?
(Ich brauche doch eine Variabel ist gleich eine Zahl ohne den anderen Variabeln)
Hier ist der zweite Teil von der Aufgabe; vielleicht kann es ja auch helfen ein Überblick zu schaffen:
Nun seien a,b,c [mm] \in \IR [/mm] so gewählt, dass [mm] (0,1,2,4)^{T} [/mm] eine Lösung des linearen Gleichungssystems ist. Berechnen Sie die gesamte Lösungsmenge des Gleichungssystems.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Mi 13.01.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da du je eine Variable weniger als Gleichungen hast, solltest du hier einen Parameter einführen.
Nach deiner Umformung (die ich jetzt nicht geprüft habe) hast du ja nur noch eine Zeile, in der w (also die vierte Variable) vorkommt, also bietet es sich an, diese als Parameter zu setzen, ich nenne ihn mal [mm] \lambda.
[/mm]
Dann wird aus
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & | 3 \\ 2 & \bruch{1}{2} & \bruch{-5}{4} & 0 & |\bruch{1}{2} \\ -8 & 0 & 2 & 4 & | 0 } [/mm] $
folgende , dann eindeutig bestimmte Matrix
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 3 \\ 2 & \bruch{1}{2} & \bruch{-5}{4} & | & \bruch{1}{2} \\ -8 & 0 & 2 & | & 0-4\lambda } [/mm] $
Diese Matrix kannst du dann mit dem Gauss-Algorithmus (oder einem anderen Verfahren) in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] lösen, so dass du eine Lösungsmenge bekommst, die natürlich von [mm] \lambda [/mm] abhängig ist.
Für den zweiten Teil musst du dann das [mm] \lambda [/mm] suchen, dass den geforderten Lösungsvektor ergibt.
Marius
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