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| Aufgabe | bestimme die Lösungsmenge des LGS in Abhängigkeit von a!
2x+y+4z=2
6x+2y+(a+8)z=5
10x+4y+(a²+16)z= a+8 |
so...ich habe durch eliminieren folgendes erhalten:
2x+y+4z=2
0x-1y-4z+az=-1
0x+0y+a³z= -1+a
a³z=-1+a
z= [mm] \bruch{-1+a}{a^3}
[/mm]
so und jetzt komme ich nicht weiter...stimmt das soweit überhaupt??
LG mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Sa 06.11.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Leider hast du den Weg nicht mit angegeben,
Du hast:
[mm] \vmat{2x+y+4z=2\\
6x+2y+(a+8)z=5\\
10x+4y+(a^{2}+16)z=a+8} [/mm]
[mm] \gdw\vmat{2x+y+4z=2\\
y+(12-(a+8))z=1\\
y+(20-(a^{2}+16))z=20-(a+8)} [/mm]
[mm] \gdw\vmat{2x+y+4z=2\\
y+(4-a)z=1\\
y+(4-a^{2})z=12-a} [/mm]
[mm] \gdw\vmat{2x+y+4z=2\\
y+(4-a)z=1\\
((4-a)-(4-a^{2})z=1-(12-a)} [/mm]
[mm] \gdw\vmat{2x+y+4z=2\\
y+(4-a)z=1\\
(-a-a^{2})z=1-(12-a)} [/mm]
Jetzt kannst du aus der letzten Gleichung z bestimmen, und das dann in die zweite, um y zu bestimmen, und mit dem z und y dann x aus Gl1.
Beachte aber, dass die umformung
[mm] (-a-a^{2})z=1-(12-a)
[/mm]
[mm] \gdw z=\bruch{a-11}{-a-a^{2}} [/mm] nur erlaubt ist, wenn [mm] -a^{2}-a\ne0, [/mm] also musst du die Falle
[mm] -a^{2}-a=0\gdw-a(a+1)=0\Rightarrow a_{1}=0 [/mm] und [mm] a_{2}=-1 [/mm] gesondert betrachten.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 07.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hi ihr,
mir ist da bei M.Rex ein Fehler aufgefallen. Das hat schon ein Weilchen gedauert bei dieser Schreibweise. Nicht nur, dass er in einer Zeile eine Klammer vergaß zu schließen, nein, bei seiner ersten Umformung in der zweiten Zeile hat er sich am Ende meiner Ansicht nach verrechnet. ;>
Nun, mathegirl, ich verstehe leider auch nicht, wie du auf [mm] a^{3} [/mm] zum Ende hin kommst. Du solltest dich nochmal intensiver mit den elementaren Transformationen auseinandersetzen. Daher zeig ich mal meinen Weg auf, der M.Rex Lösung bis auf die kleinen Schnitzer soweit ähneln sollte, wie es Matrix und LGS Schreibweise eben tun:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 6 & 2 & a+8 & 5 \\ 10 & 4 & a^{2}+16 & a+8 } \pmat{ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & a-4 & -1 \\ 0 & -1 & a^{2}-4 & a-2 } \pmat{ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & a-4 & -1 \\ 0 & 0 & a^{2}-a & a-1 }
[/mm]
Betrachten wir nun die letzte Zeile, der letzten Matrix in Treppenform.
[mm] (a^{2} [/mm] - a) z = a - 1
Bei genauem Hinsehen und einigen Einsetzversuchen stellen wir fest, die Gleichung weist uns mehrere Fälle zu näherer Betrachtung, wie von M.Rex bereits beschrieben.
Fall (i): a = 0
Fall (ii): a = 1, Setze z = k, k [mm] \in \IR
[/mm]
Fall (iii): a [mm] \in \IR [/mm] \ {0, 1}
gruss, dfx
EDIT#1: Ich reiche mal meine Lösungsmengen nach:
zu (i): [mm] \IL [/mm] = {}
zu (ii): [mm] \IL [/mm] = { [mm] \pmat{ \bruch{1-k}{2} \\ 1-3k \\ k } [/mm] | [mm] k\in \IR [/mm] }
zu (iii): [mm] \IL [/mm] = { [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} \\ \bruch{a^{2}-5a+4}{a^{2}-a \\ \bruch{a-1}{a^{2}-a} } } [/mm] | a [mm] \in \IR [/mm] \ {0, 1}}
EDIT#2: Ich habe den Beitrag massiv gekürzt.
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