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| Aufgabe | Es seien die Vektoren u = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}, [/mm] v = [mm] \vektor{1\\-1\\2}, w=\vektor{0\\3\\-4} [/mm] gegeben.
a) Ist das Tripel (u,v,w) linear unabhängig in [mm] \IR^3? [/mm] Welche Teilfamilien sind unabhängig?
b) Man bestimme die Lineare Hülle von [mm] \{u,v,w\}.
[/mm]
c) Man finde z, so dass (u,v,z) linear unabhängig ist. Ist dies eine Basis von [mm] \IR^3? [/mm] |
Erst einmal meine eigenen Lösungsansätze:
[mm] \lambda\cdot\vektor{2 \\ 1 \\ 0}+\mu\cdot\vektor{1\\-1\\2}+\nu\cdot\vektor{0\\3\\-4}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] zur Bestimmung, ob die drei Vektoren linear unabhängig sind.
[mm] 2\cdot\lambda+\mu=0
[/mm]
[mm] \lambda-\mu+3\cdot\nu=0
[/mm]
[mm] 2\cdot\mu-4\cdot\nu=0
[/mm]
vertauschen der ersten und zweiten Zeile.
[mm] \lambda-\mu+3\cdot\nu=0
[/mm]
[mm] 2\cdot\lambda+\mu=0
[/mm]
[mm] 2\cdot\mu-4\cdot\nu=0
[/mm]
erste Zeile [mm] \cdot(-2) [/mm] + zweite Zeile
[mm] \lambda-\mu+3\cdot\nu=0
[/mm]
[mm] 3\cdot\mu+6\cdot\nu=0
[/mm]
[mm] 2\cdot\mu-4\cdot\nu=0
[/mm]
zweite Zeile [mm] \cdot-\bruch{2}{3} [/mm] + dritte Zeile
[mm] \lambda-\mu+3\cdot\nu=0
[/mm]
[mm] 3\cdot\mu+6\cdot\nu=0
[/mm]
[mm] -8\cdot\nu=0
[/mm]
aus der letzten Zeile folgt: [mm] \nu [/mm] = 0
durch Rückwärtssubstitution folgt auch noch [mm] \mu [/mm] = 0 und [mm] \lambda [/mm] = 0
daraus folgt, das Tripel(u,v,w) ist linear unabhängig.
Wenn das jemand kontrollieren könnte, wäre ich froh.
Nun meine Frage(n):
Was sind denn Teilfamilien und was wäre nun eine Teilfamilie?
Wie bestimme ich die lineare Hülle?
Aus c) schließe ich, dass die Vektoren eigentlich linear abhängig sind, sonst müsste ich doch keinen Vektor z finden, oder liege ich da falsch?
Ich weiß, dass eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] die Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] sind. Wie stelle ich fest, ob 3 Vektoren eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] sind?
Hoffe mir kann jemand meine Fragen beantworten.
Liebe Grüße.
Ich habe dies Frage in keinem anderen Forum gestellt
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> Es seien die Vektoren u = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0},[/mm] v =
> [mm]\vektor{1\\-1\\2}, w=\vektor{0\\3\\-4}[/mm] gegeben.
> a) Ist das Tripel (u,v,w) linear unabhängig in [mm]\IR^3?[/mm]
> Welche Teilfamilien sind unabhängig?
> b) Man bestimme die Lineare Hülle von [mm]\{u,v,w\}.[/mm]
> c) Man finde z, so dass (u,v,z) linear unabhängig ist. Ist
> dies eine Basis von [mm]\IR^3?[/mm]
Hallo,
Du hast Dich bei der Überprüfung der linearn Unabhängigkeit an irgendeiner Stelle verrechnet. Die drei Vektoren sind nicht linear unabhängig.
> Wenn das jemand kontrollieren könnte, wäre ich froh.
> Nun meine Frage(n):
> Was sind denn Teilfamilien und was wäre nun eine
> Teilfamilie?
Du hast nun drei linear abhängige Vektoren, und hieraus sollst Du eine möglichst große Menge von linear unabhängigen Vektoren "abschöpfen".
Familie: Eine Familie unterscheidet sich von einer Menge dadurch, daß die Reihenfolge eine Rolle spielt.
Basen gibt man doch oft so an: [mm] B=(b_1,...,b_n). [/mm] Die Reihenfolge ist fest, was natürlich bei der Angabe von Koordinaten bzgl. dieser Basis notwendig ist.
> Wie bestimme ich die lineare Hülle?
Die lineare Hülle ist die Menge sämtlicher Linearkombinationen, die Du aus einer vorgegebenen Menge/Familie bilden kannst.
> Aus c) schließe ich, dass die Vektoren eigentlich linear
> abhängig sind, sonst müsste ich doch keinen Vektor z
> finden, oder liege ich da falsch?
Da wie oben erwähnt die Vektoren abhängig sind, wirst Du doch einen finden.
> sind. Wie stelle ich fest, ob 3 Vektoren eine Basis des
> [mm]\IR^3[/mm] sind?
Immer, wenn Du drei linear unabhängige Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in der Hand hast, bilden diese eine Basis, denn der [mm] \IR^3 [/mm] hat die Dimension 3.
Falls Ihr allerdings den Satz, daß alle Basen gleichmächtig sind, noch nicht hattet, mußt Du neben der linearen Unabhängigkeit prüfen, ob Du damit den [mm] \IR^3 [/mm] erzeugen, also jedes Element des [mm] \IR^3 [/mm] als Linearkombination der fraglichen Vektoren darstellen, kannst
Gruß v. Angela
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