Lineare Randwertaufgabe < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachtet werde die lineare Randwertaufgabe
[mm] y^{(4)}(x) [/mm] = [mm] sin(\pi [/mm] x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0, 1), y(0) = y''(0) = y(1) = y''(1) = 0. (2)
Diese Aufgabe lässt sich mittels der Substitution v(x) := y''(x) in das gestaffelte System
v''(x) = [mm] sin(\pi [/mm] x), y''(x) = v(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0, 1), v(0) = v(1) = y(0) = y(1) = 0 (3)
transformieren.
a) Über einem Äquidistanten Gitter sind die Aufgaben (2) und (3) zu diskretisieren,
d.h. in den inneren Gitterpunkten sind die auftretenden Ableitungen durch zentrale
finite Differenzen zu ersetzen. Die Randbedingungen
sind ebenfalls zu diskretisieren.
Im Fall von (2) treten virtuelle Punkte auf, die zu eliminieren sind.
Man gebe das so erzeugte, zu (2) gehörige lineare Gleichungssystem, wie auch das zu (3) gehörige gestaffelte System an.
b) Zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b mit einer 5-diagonalen
Koeffizientenmatrix A gebe man analog zum schnellen Gauß-Verfahren für 3-diagonale Matrizen eine Vorschrift zur LU-Faktorisierung und Lösung des Systems an. (ohne Pivotisierung) |
Hallo,
diese schöne Aufgabe dürfen wir über Weihnachten berechnen. Dazu gibt es noch Teil c, in welchem die b)-Aufgabe in MATLAB zu implementieren ist. Diese hab ich hier der Einfachheit halber mal weggelassen.
Mein Problem ist vor allem, dass ich überhaupt keine Ahnung habe, wie ich überhaupt an die Aufgabe rangehen soll, welche inneren Gitterpunkte und wie ersetzt man diese durch zentrale finite Differenzen. Leider schweigen sich die Numeriklehrbücher hier auch größtenteils aus.
Wäre super, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte!
LG, Antiprofi!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 07.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:16 Fr 11.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Also ich hab den ersten Teil der Aufgabe a hingekriegt:
Seien [mm] x_j=j*h, [/mm] wobei [mm] h:=\bruch{1}{N}, y_j:=y(x_j) [/mm] für j=0,...,N
Jetzt wird das ganze diskretisiert:
Dazu ist [mm] y^{(4)}_j=sin(\pi*x_j) [/mm] für j=0,...,N.
Aus dem Hinweis (Aufgabe 32) ergibt sich dann
[mm] h^4*y^{(4)}_j:=y_{j-2}-4y_{j-1}+6y_j-4y_{j+1}+y_{j+2} [/mm] für j=2,...,N-2
und mit den Randbedingungen:
[mm] y''(x_0)=0=\bruch{1}{h^2}(y_{-1}-2y_0+y_1)
[/mm]
[mm] y''(x_N)=0=\bruch{1}{h^2}(y_{N-1}-2y_N+y_{N+1})
[/mm]
Das sind die finiten Differenzen für die 2. Ableitung und es folgt mit [mm] y_0=y_N=0:
[/mm]
[mm] y_{-1}+y_1=0
[/mm]
[mm] y_{N-1}+y_{N+1}=0
[/mm]
Jetzt haben wir 2 virtuelle Punkt [mm] x_{-1} [/mm] und [mm] x_{N+1} [/mm] und damit lassen sich die 4. Ableitungen oben auf j=1 und j=N-1 anwenden.
Damit haben wir N+1 Gleichungen für N+1 unbekannte.
Es folgt das Gleichungssystem:
[mm] \pmat{1 & 1 & & & & & & & \\ 1 & 6 & -4 & 1 & & & & & \\ & -4 & 6 & -4 & 1 & & & & \\ & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & \\ & & & & 1 & -4 & 6 & -4 & \\ & & & & & 1 & -4 & 6 & 1 \\ & & & & & & & 1 & 1}*\vektor{y_{-1} \\ y_1 \\ y_2 \\ \\ \vdots \\ \\ y_{N-2} \\ y_{N-1} \\ y_{N+1}}=h^4\vektor{0 \\ y^{(4)}_1 \\ y^{(4)}_2 \\ \\ \vdots \\ \\ y^{(4)}_{N-2} \\ y^{(4)}_{N-1} \\ 0}
[/mm]
Das ist zu lösen.
Ich weiß jetzt nicht mehr bei Progblem (3) weiter.
man weiß [mm] v''(x_j)=\bruch{1}{h^2}(v_{j-1}-2v_j+v_{j+1}) [/mm] für j=1,...,N-1
unter Berücksichtigung der Randbedingung kommt man auf folgendes System:
[mm] \pmat{-2 & 1 & & & \\ 1 & -2 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & -2 & 1 \\ & & & 1 & -2}*\vektor{v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_{N-2} \\ v_{N-1}}=h^2\vektor{v_1'' \\ v_2'' \\ \vdots \\ v_{N-2}'' \\ v_{N-1}''}
[/mm]
Damit bekommt man die v. Das selbe macht man jetzt nochmal für [mm] v_j [/mm] = [mm] y_j'' [/mm] mit der selben Formel und kommt auf das selbe System, nur statt v steht dann überall y.
Was jetzt damit gemeint ist mit gestaffeltes System angeben weiß ich auch nicht. Eigentlich könnte man ja beide Systeme in eins schreiben:
Av=v''
Ay=v
[mm] \Rightarrow AAy=y^{(4)}
[/mm]
Aber ich glaube auch nicht dass das der Sinn der Sache ist. Hat jemand eine Ahnung wie das gemeint ist?
Gruß Max
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Do 17.01.2008 | | Autor: | igelkind |
Hallo Max,
ich glaube dein 1. Gleichungssystem ist verbesserungswürdig
Ich hab heraus:
$ [mm] \pmat{5 & -4 & 1 & & & & & \\ -4 & 6 & -4 & 1 & & & & \\ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & \\ & & & & 1 & -4 & 6 & -4 \\ & & & & & 1 & -4 & 5 }\cdot{}\vektor{y_1 \\ y_2 \\ \\ \vdots \\ \\ y_{N-2} \\ y_{N-1} \\ }=h^4\vektor{y^{(4)}_1 \\ y^{(4)}_2 \\ \\ \vdots \\ \\ y^{(4)}_{N-2} \\ y^{(4)}_{N-1}} [/mm] $
Z.B. gilt nach Elimination von [mm] y_{-1}=-y_1 [/mm] und [mm] y_0=0 [/mm] diese Gleichung für [mm] y_1:
[/mm]
$ [mm] h^4\cdot{}y^{(4)}_1=5y_1-4y_2+y_3 [/mm] $
Diese Matrix ist übrigens genau das Quadrat deiner 2. Matrix, d.h. deine Herleitung (das Ineinandersetzen der Staffelung in (3) ergibt (2)), ist schon so richtig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Do 17.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Naja. Habs heute abgegeben.
In Matlab zeigt der mir auch ungefähr das richtige an.
Ich würd aber sagen das beide Varianten (also Substitution und Lösen mit 4. Ableitung) nicht das selbe ergeben, da man ja mit anderen Näherungen für die Ableitungen arbeitet.
Na wie dem auch sei. Ich hab keine Lust mehr mich damit nochmal auseinander zu setzen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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