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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 10.05.2009 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | Sind die folgenden Transformationen linear? Wenn ja, geben Sie die Standartmatrix an.
1.) T: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR^{2}, T(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] (2x_{1}-x_{2}, x_{1}+ x_{2})
[/mm]
2.) T: [mm] \IR^{3} [/mm] -> [mm] \IR^{3},T(x_{1},x_{2},x_{3}) =(x_{1}-x_{3},x_{1}^{2}+x_{2}x_{3},x_{1}) [/mm] |
Hallo Zusammen
Wie finde allgemein heraus, ob diese Aufgaben linear sind oder nicht? Leider komme ich mit den vorhandenen Unterlagen und den "internetrecherchen" nicht weiter. Immerhin, bei der ersten hätte ich dann eine Standartmatrix herausgefunden, also nehme ich an, dass das eine Lineare Transformation sein muss.
Für eure Hilfe bin ich euch sehr dankbar!
[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 So 10.05.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Sind die folgenden Transformationen linear? Wenn ja, geben
> Sie die Standartmatrix an.
>
> 1.) T: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR^{2}, T(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm](2x_{1}-x_{2}, x_{1}+ x_{2})[/mm]
>
> 2.) T: [mm]\IR^{3}[/mm] -> [mm]\IR^{3},T(x_{1},x_{2},x_{3}) =(x_{1}-x_{3},x_{1}^{2}+x_{2}x_{3},x_{1})[/mm]
>
> Hallo Zusammen
>
> Wie finde allgemein heraus, ob diese Aufgaben linear sind
> oder nicht?
stören wir uns einfach mal nicht an dem Begriff Transformation.
Wenn die Abbildung [mm] T:\IR^2\to\IR^2,T(x_{1},x_{2})=(2x_{1}-x_{2},x_{1}+ x_{2}) [/mm] linear ist, dann muss doch nach Definition gelten:
[mm] \forall{x=\vektor{x_1 \\ x_2},y=\vektor{y_1\\y_2}}\in\IR^2, \alpha,\beta\in\IR [/mm] gilt:
[mm] T(\alpha*\vektor{x_1 \\ x_2}+\beta*\vektor{y_1\\y_2})=\alpha*T(\vektor{x_1 \\ x_2})+\beta*T(\vektor{y_1\\y_2}) $\red{(\*)}$
[/mm]
Bei der zweiten Abbildung musst du auch prüfen, ob [mm] $\red{(\*)}$ [/mm] gilt.
> Leider komme ich mit den vorhandenen Unterlagen
> und den "internetrecherchen" nicht weiter. Immerhin, bei
> der ersten hätte ich dann eine Standartmatrix
> herausgefunden, also nehme ich an, dass das eine Lineare
> Transformation sein muss.
>
> Für eure Hilfe bin ich euch sehr dankbar!
>
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
Hast du das mit der Standardmatrix verstanden? Du hast sie ja gefunden. Fragt sich nur wie  - geraten oder verstanden (nicht böse gemeint. - Ist nur besser, wenn du es verstanden hast und auch bei anderen Aufgaben weißt, wie du darauf kommst.)
MfG barsch
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