Lineare (Un)abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 12.05.2005 | | Autor: | Blume123 |
Hallo...
Habe hier folgende Aufgabe, wo ich etwas Hilfe bräuchte. Wäre echt nett, wenn mir da jemand helfen könnte...
Gegeben sind die Vektoren: a= t/0/t, b= t/t/-t und [mm] c=-t/t^2/t [/mm] (t ungleich 0)
a) Untersuchen sie, für welche Werte von t die Vektoren a, b und c linear unabhgängig sind.
b) Bestimmen sie t so, dassa,b, und c linear abhängig sind. Untersuchen sie, ob sich dann jeder der drei Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
c) Berechnen sie a,b, und c für t=1 und zeigen sie, wie sich aus ihnen der Vektor d= -1/1/3) als Linearkombination darstellen lässt.
d) Berechnen sie a für t=2, b für t=-3 und c für t=-1 und zeigen sie, wie sich aus diesen Vektoren der Vektor f= -1/-7/13 als Linearkombination darstellen lässt.
zu a) also was ich weiß, ist ja, dass die Vektoren nur dann linear unabhängig sind, wenn die Gleichungen alle gleich null sind.... nur irgendwie kriege ich das dann nicht so umgeformt, dass ich dann t rausbekomme... kann mir das jemand zeigen?
zu b) ist ja quasi genau andersrum wie a) kann mir da auch jemand helfen?
zu c) ja das habe ich schon gerechnet, aber irgendwie kriege ich da verschiedene Ergebnisse für r raus...
Ich habe ja da die drei Gleichungen:
r+s-t=-1
s+t=1
r-s+t=3
Wenn ich das umforme bekomme ich: t=2/3 und s=1/3 und für r bekomme ich unterschiedliche Werte raus... habe ich da was falsch gemacht?
zu d) ja da kommt auch was komisches rauzs...
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Hallo,
> a) Untersuchen sie, für welche Werte von t die Vektoren a,
> b und c linear unabhgängig sind.
>
> b) Bestimmen sie t so, dassa,b, und c linear abhängig sind.
> Untersuchen sie, ob sich dann jeder der drei Vektoren als
> Linearkombination der anderen darstellen lässt.
> zu a) also was ich weiß, ist ja, dass die Vektoren nur dann
> linear unabhängig sind, wenn die Gleichungen alle gleich
> null sind.... nur irgendwie kriege ich das dann nicht so
> umgeformt, dass ich dann t rausbekomme... kann mir das
> jemand zeigen?
>
> zu b) ist ja quasi genau andersrum wie a) kann mir da auch
> jemand helfen?
Betrachte hierzu die Matrix A
[mm]A\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
t & t & { - t} \\
0 & t & {t^2 } \\
t & { - t} & t \\
\end{array}} \right)[/mm]
Die Vektoren a,b und c sind genau dann linear abhängig, wenn die Determinante von A verschwindet, also det(A) = 0.
[mm]\begin{array}{l}
\det (A)\; = \;t\;\left| {\begin{array}{*{20}c}
t & {t^{2} } \\
{ - t} & t \\
\end{array}} \right|\; - \;t\;\left| {\begin{array}{*{20}c}
0 & {t^{2} } \\
t & t \\
\end{array}} \right|\; - \;t\;\left| {\begin{array}{*{20}c}
0 & t \\
t & { - t} \\
\end{array}} \right| \\
= \;t\;\left( {t^{2} \; + \;t^{3} } \right)\; - \;t\;\left( { - t^{3} } \right)\; - \;t\;\left( { - t^{2} } \right) \\
= \;2\;t^{3} \; + \;2\;t^{4} \\
= \;2\;t^{3} \;\left( {t\; + \;1} \right) \\
\end{array}[/mm]
Hier siehst Du nun, daß die Determinante von A nur 0 wird, wenn t=0 oder t=-1. Nur für diese Werte sind die Vektoren linear abhängig. Für alle anderen Werte sind sie linear unabhängig.
Ein alternativer Weg, das festzustellen:
Schreibe die Vektoren mit dem Ergebnisvektor 0 in eine Matrix:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
t & t & { - t} & 0 \\
0 & t & {t^2 } & 0 \\
t & { - t} & t & 0 \\
\end{array}} \right)[/mm]
Das Ziel ist diese Matrix auf möglichst einfache Gestalt zu bringen. Wenden wir also den Gauß-Algorithmus an.
Multipliziere die 1. Zeile mit -1 und addiere sie zur 3. Zeile:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
t & t & { - t} & 0 \\
0 & t & {t^2 } & 0 \\
0 & { - 2t} & {2t} & 0 \\
\end{array}} \right)[/mm]
Nun ist noch ein weiterer Schritt nötig, multipliziere die 2. Zeile mit 2 und addiere sie zur 3. Zeile:
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
t & t & { - t} & 0 \\
0 & t & {t^2 } & 0 \\
0 & 0 & {2t\; + \;2t^2 } & 0 \\
\end{array}} \right)[/mm]
Hier kannst Du nun ablesen: Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn [mm]2t\; + \;2t^{2} \; \ne \;0[/mm]. Dies ist die lineare Unabhängigkeit.
Im anderen Fall [mm]2t\; + \;2t^{2} \; = \;0[/mm] ist das Gleichungssystem mehrdeutig lösbar. Das ist gleichzusetzen mit der linearen Abhängigkeit.
Gruß
MathePower
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