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| Aufgabe | Für n verschiedene Zahlen x1...xn [mm] \in \IR [/mm] definieren wir die n Funktionen
[mm] \delta [/mm] xk : [mm] F(\IR,\IR) \to \IR, [/mm] f [mm] \mapsto [/mm] f(xk) (k=1,...n)
Die Funktionen
[mm] \delta [/mm] xk, k=1,...,n, gehören zum Raum [mm] F((F(\IR,\IR),\IR). [/mm] Beweisen Sie, dass
[mm] \delta x1,...,\delta [/mm] xn linear unabhängig sind und dass dim [mm] \{\delta x1,...,\delta xn\}=n [/mm] gilt. |
Hallo zusammen,
Für die lineare unabhängigkeit muss ich doch zeigen, dass sich
[mm] \delta x1,...,\delta [/mm] xn nur mit [mm] \alpha 1=...=\alpha [/mm] n zum Nullvektor kombinieren lassen, das wäre mal mein Ansatz.
Also schreibe ich:
[mm] \alpha [/mm] 1 [mm] \delta x1+...+\alpha [/mm] n [mm] \delta [/mm] xn=0 und ich muss zeigen, NUR für
[mm] \alpha 1=...=\alpha [/mm] n=0
Wie gehe ich da jetzt vor, um das zu beweisen? Ich weiß ja dass die jeweiligen Funktionen nach [mm] \IR [/mm] abbilden, aber bringt mir das was für den Beweis?
Wäre für Denkanstöße dankbar!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \alpha_1 [/mm] * [mm] \delta x_1+...+\alpha_n [/mm] * [mm] \delta x_n=0$
[/mm]
bedeutet doch:
$ [mm] \alpha_1 [/mm] * [mm] \delta x_1(f)+...+\alpha_n [/mm] * [mm] \delta x_n(f)=0$ [/mm] für alle f [mm] \in F(\IR,\IR)
[/mm]
Also
(*) $ [mm] \alpha_1 *f(x_1)+...+\alpha_n [/mm] * [mm] f(x_n)=0$ [/mm] für alle f [mm] \in F(\IR,\IR)
[/mm]
Für j=1, .. ,n definiere [mm] f_j\in F(\IR,\IR) [/mm] durch
[mm] f_j(x_j)=1 [/mm] und [mm] f_j(x)=0 [/mm] für x [mm] \ne x_j
[/mm]
Gehe damit mal auf (*) los.
FRED
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