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| Aufgabe | | Sind die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{a}+\vec{b}, \vec{a}\times\vec{b} \in \IR^3 [/mm] linear abhängig? Begründen Sie Ihre Entscheidung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Zusammen,
meine Lerngruppe und Ich waren jetzt schon eine Ewigkeit mit der Aufgabe beschäftigt und wir kommen irgentwie nicht weiter.
Also wir haben diese Gleichung aufgestellt:
[mm] \lambda [/mm] 1 (a1 + a2 + [mm] a3)^T [/mm] + [mm] \lambda [/mm] 2 (a1+b1 a2+b2 [mm] a3+b3)^T [/mm] + [mm] \lambda [/mm] 3 (a2b3-a3b2 a3b1-a1b3 a1b2 [mm] -b1a2)^T [/mm] = (o o [mm] o)^T
[/mm]
Dann haben wir versucht die Gleichung aufzulösen. Die würde aber 3 Seiten lang sein, wenn man die komplett auflöst und das kann ich mir nicht vorstellen, dass das verlangt ist.
Ich würde mich über jede Art von Hilfe sehr freuen.
MfG Hanno
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> Sind die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}, \vec{a}\times\vec{b} \in \IR^3[/mm]
> linear abhängig? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bevor man wild herumrechnet, ist es manchmal lohnend, ein wenig nachzudenken...
Das ganze nimmt seinen Ausgang ja bei zwei vorgegebenen Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}.
[/mm]
Ich denke, ich verrate kein Geheimnis, wenn ich sage, daß die beiden entweder linear abhängig oder linear unabhängig sind.
Wenn sie linear abhängig sind, sind ja sofort [mm] \vec{a}, \vec{a}+\vec{b} [/mm] linear abhängig, und Du brauchst nicht weiterzuüberlegen.
Nun seien [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] also linear unabhängig.
Überlegt Euch, was das bedeutet, anschaulich, meine ich.
Was kann man über [mm] \vec{a}, \vec{a}+ \vec{b} [/mm] sagen?
In welchem Verhältnis steht nun [mm] \vec{a}x \vec{b} [/mm] zu den beiden anderen. Welche Richtung?
Wenn Dir das klargeworden ist, wirst Du wissen, was es mit den drei Vektoren auf sich hat.
Zur Rechnung: Du möchtest zur Beantwortung der Frage die Gleichung
[mm] \lamba_1\vec{a}+\lamba_2(\vec{a}+ \vec{b})+\lamba_3(\vec{a}x \vec{b}) [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm] lösen.
Tu das nicht komponentenweise, sondern nutze das Skalarprodukt und die Orthogonalität.
Multipliziere mal (Skalarprodukt) mit [mm] (\vec{a}x \vec{b}) [/mm] .
Danach solltest Du eigentlcih allein weiterkommen unter Beachtung der Tatsache, daß wir [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] als linear unabhängig vorausgesetzt hatten.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank Angela. Das hat mir viel geholfen. Ich denke ich habe eine Antwort darauf gefunden :)
mfg Hanno
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