Lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 So 16.01.2005 | | Autor: | maria |
Hallo!! Ich habe ein kleines Problem mit einer wichtigen Definition. In der Vorlesung haben wir das so aufgeschrieben:
[mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] heißen linear unabhängig genau dann, wenn [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{m}\in [/mm] K sind und [mm] \lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{m}v_{m}=o [/mm] ist, so folgt [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=...=\lambda_{m}=0
[/mm]
Das versteh ich aber nicht. Ich kann doch z.B. drei Vektoren miteinander linear kombinieren, so dass sich der Nullvektor ergibt, die Parameter aber nicht Null sind (siehe Dreieck). Ich weiß, dass diese Definition eine Implikation ist und somit ist es ja nicht falsch, was wir da aufgeschrieben haben, aber als Definition für Lineare Unabhängigkeit macht das für mich keinen Sinn.
In einem Buch habe ich folgende Definiton gelesen: Es ergibt sich der Nullvektor eines Vektorraums V über K als Linearkomb. der Vektoren [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] NUR, wenn alle [mm] \lambda=0. [/mm] Das kann doch nicht sein, oder? Ich versteh das nicht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 So 16.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Maria!
> $ [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] $ heißen linear unabhängig genau dann, wenn $ [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{m}\in [/mm] $ K sind und $ [mm] \lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{m}v_{m}=o [/mm] $ ist, so > folgt $ [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=...=\lambda_{m}=0 [/mm] $
> In einem Buch habe ich folgende Definiton gelesen: Es ergibt sich der Nullvektor eines Vektorraums V über K als Linearkomb. der Vektoren $ [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] $ NUR, wenn alle $ [mm] \lambda=0. [/mm] $ Das kann doch nicht sein, oder? Ich versteh das nicht.
Beide Definitionen sind äquivalent, die zweite drückt den Sachverhalt nur etwas schöner aus. Wichtig ist folgendes: Für eine linear unabhängige Menge von Vektoren gibt es nur die triviale Linearkombination des Nullvektors. Trivial heißt sie deshalb, weil eben alle Koeffizienten gleich Null sind. Folglich folgt aus [mm] $\summe_{i=1}^{n}{k_i v_i}=0$ [/mm] sofort [mm] $k_1=k_2=...=k_n=0$, [/mm] da wir sonst eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gefunden hätten, welche nach Voraussetzung allerdings nicht existiert.
> Das versteh ich aber nicht. Ich kann doch z.B. drei Vektoren miteinander linear kombinieren, so dass sich der Nullvektor ergibt, die Parameter aber nicht Null sind (siehe Dreieck).
Wenn du drei Vektoren nichttrivial zum Nullvektor linear kombinieren kannst, dann sind sie linear abhängig. Wären sie linear unabhängig, könnte es nach Voraussetzung eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors nicht geben.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstanden habe, was dir Kopfschmerzen bereitet - wenn also noch Probleme bestehen, dann frag' bitte nach.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 16.01.2005 | | Autor: | maria |
Ich kann hier schlecht Bildchen malen, aber schauen wir uns doch mal z.B. ein Dreieck an. Jeder Seite des Dreiecks sei ein Vektor. Diese drei Vektoren sind nach meiner Logik linear unabhängig voneinander. trotzdem ergibt sich der Nullvektor, ohne dass die Parameter null sind, z.B.
[mm] 1\vektor{0 \\ 1}+1\vektor{1 \\ 0}-1\vektor{1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Maria,
dann hast du wohl eine falsche Vorstellung von linearer Unabhängigkeit - die Vektoren deines Dreiecks sind jedenfalls linear abhängig. Dein Beispiel zeigt sehr gut, wann man Vektoren linear abhängig nennt - nämlich genau dann, wenn eben so eine Linearkombination, wie du sie aufgestellt hast, existiert.
(Wenn du drei Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] nimmst, sind diese übrigens immer linear abhängig ...)
Folgende Vektoren im [mm] $\IR^3$ [/mm] wären ein simples Beispiel für linear unabhängige Vektoren:
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Ich weiß nicht, ob das dein Verständnisproblem behebt. Sonst frage ruhig weiter. :)
- Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 16.01.2005 | | Autor: | maria |
Hmmm...also jetzt bin ich etwas durcheinander. die drei vektoren, die ich aufgeschrieben habe, sind doch nicht parallel zueinander. ist das nicht eine wichtige vorraussetzung für lineare abhängigkeit??
|
|
|
| |
|
Nein, dass zwei Vektoren parallel zueinander sind, ist überhaupt keine Voraussetzung für lineare Abhängigkeit. Höchstens für einen Spezialfall: Zwei Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] (ungleich dem Nullvektor) sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
Andersrum wird die Aussage richtig: Wenn sie parallel sind, dann sind sie sicher linear abhängig. :)
- Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 16.01.2005 | | Autor: | maria |
Ok, dann versuch ich das jetzt mal so hinzunehmen und alles andere, was vorher in meinem Kopf zu diesem Thema war, zu vergessen  Noch eine letzte Frage, dann hör ich auch auf. Wie kann ich mir linear abhängige bzw. unabhängige Vektoren demnächst bildlich vorstellen, wenn sowas überhaupt bildlich vorzustellen ist?
|
|
|
| |
|
Anschaulich vorstellen kann man sich lineare Abhängigkeit vielleicht noch im [mm] $\IR^2$ [/mm] oder [mm] $\IR^3$. [/mm] Wenn du vom Nullpunkt ausgehend mit einer Linearkombination der Vektoren wieder den Nullpunkt erreichen kannst, sind die Vektoren linear abhängig. Wie gut oder schlecht du dir sowas vorstellen kannst, weiß ich natürlich nicht. :)
Schon beim [mm] $\IR^4$ [/mm] oder allgemein [mm] $\IR^n$ [/mm] dürfte es mit der Vorstellung aber schwierig werden, und schließlich gibt es auch noch völlig andere Vektorräume - den Vektorraum aller Funktionen [mm] $f:\IR \to \IR$, [/mm] oder Lösungsräume von linearen Gleichungssystemen, oder oder ... auch dabei kann man von linearer Abhängigkeit oder Unabhängigkeit von Vektoren sprechen, und eine anschauliche Vorstellung wird da immer schwieriger.
Ich würde dich gerne auf eine Webseite verweisen, wo das Thema anschaulich erklärt wird, aber ich finde spontan leider nichts dazu in meinen Bookmarks. :(
- Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:25 So 16.01.2005 | | Autor: | maria |
Macht nichts. Ich danke dir erstmal sehr, dass du dich überhaupt um mein Problem gekümmert hast und du dir von mir deine Zeit hast stehlen lassen Ich denke, dass ich durch deine Antworten jetzt einen besseren Zugang zu diesem Thema bekommen habe. Jedenfalls hast du einen schwerwiegenden Denkfehler von mir aufgeklärt!!!! Das war sehr wichtig.
|
|
|
|
