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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Sa 05.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Vektoren
[mm] v_1=\vektor{\bar0\\ \bar4 \\ \bar1}, v_2=\vektor{\bar2\\ \bar3 \\ \bar1}, v_3=\vektor{\bar1\\ \bar2 \\ \bar0}
[/mm]
im Vektorraum [mm] (\IZ/ 5\IZ)^3 [/mm] über den Körper [mm] \IZ/5\IZ [/mm] linear abhängig sind. |
Hallo,
ich versteh nicht, warum die Vektoren linear abhängig sind.
Schreibe ich das ganze als Matrix auf und bringe es in Zeilenstufenform erhalte ich:
[mm] \pmat{ \bar4 & \bar3 &\bar 2\\ \bar0 & \bar2 &\bar 1\\ \bar0 & \bar0 &\bar 0}
[/mm]
aus der letzten Zeile folgt doch [mm] \lambda_3=0 [/mm] und durch einsetzen sind die anderen beiden auch null.
Wo mach ich denn Fehler?
Wäre um jeden Hinweis dankbar!
Lg Melisa
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Hallo melisa,
> Zeigen Sie, dass die Vektoren
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> [mm]v_1=\vektor{\bar0\\ \bar4 \\ \bar1}, v_2=\vektor{\bar2\\ \bar3 \\ \bar1}, v_3=\vektor{\bar1\\ \bar2 \\ \bar0}[/mm]
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> im Vektorraum [mm](\IZ/ 5\IZ)^3[/mm] über den Körper [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
> linear abhängig sind.
> Hallo,
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> ich versteh nicht, warum die Vektoren linear abhängig
> sind.
>
> Schreibe ich das ganze als Matrix auf und bringe es in
> Zeilenstufenform erhalte ich:
>
> [mm]\pmat{ \bar4 & \bar3 &\bar 2\\ \bar0 & \bar2 &\bar 1\\ \bar0 & \bar0 &\bar 0}[/mm]
>
> aus der letzten Zeile folgt doch [mm]\lambda_3=0[/mm]
Die Nullzeile beinhaltet die Aussage [mm] 0x_1+0x_2+0x_3=0. [/mm] Daraus kann man nichts schließen. Ich sehe allerdings auch gar nicht, wie du auf diese Zeilenstufenform kommst.
Eine lineare Abhängigkeit wäre [mm] 0=-v_1+v_2+3v_3 [/mm] (zum Vergleichen).
> und durch einsetzen sind die anderen beiden auch null.
>
> Wo mach ich denn Fehler?
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> Wäre um jeden Hinweis dankbar!
>
> Lg Melisa
LG
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> Zeigen Sie, dass die Vektoren
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> [mm]v_1=\vektor{\bar0\\
\bar4 \\
\bar1}, v_2=\vektor{\bar2\\
\bar3 \\
\bar1}, v_3=\vektor{\bar1\\
\bar2 \\
\bar0}[/mm]
>
> im Vektorraum [mm](\IZ/ 5\IZ)^3[/mm] über den Körper [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
> linear abhängig sind.
> Hallo,
>
> ich versteh nicht, warum die Vektoren linear abhängig
> sind.
>
> Schreibe ich das ganze als Matrix auf und bringe es in
> Zeilenstufenform erhalte ich:
>
> [mm]\pmat{ \bar4 & \bar3 &\bar 2\\
\bar0 & \bar2 &\bar 1\\
\bar0 & \bar0 &\bar 0}[/mm]
Hallo,
Deine ZSF ist richtig.
Eigentlich weißt Du jetzt alles, was zur Beantwortung der Frage notwendig ist:
die Matrix, die die drei Vektoren in den Spalten enthält, hat den Rang 2. Also hat der Spaltenraum, das Erzeugnis Deiner drei Vektoren, die Dimension 2, was bedeutet, daß die drei Vektoren linear abhängig sind.
>
> aus der letzten Zeile folgt doch [mm]\lambda_3=0[/mm] und durch
> einsetzen sind die anderen beiden auch null.
Wie mein Vorredner schon sagt: das ist falsch.
Ich mache das mal ausführlich:
lösen willst Du das sich aus [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 [/mm] ergebende GS.
Deine ZSF in Gleichungen "übersetzt" lautet
I. [mm] 4\lambda_1+3\lambda_2+2\lambda_1=0 \qquad [/mm] (|*4)
II. [mm] 2\lambda_2+\lambda_3=0\qquad [/mm] (|*3)
III. 0=0
I'. [mm] \lambda_1+2\lambda_2+3\lambda_3=0
[/mm]
II'. [mm] \lambda_2+3\lambda_3=0
[/mm]
III'. 0=0
Aus II': folgt [mm] \lambda_2=-3\lambda_3=2\lambda_3
[/mm]
Eingesetzt in I'. bekommt man [mm] \lambda_1=-2*(-3lambda_3)-3\lambda_3=3\lambda_3.
[/mm]
Was lernen wir daraus? Unser [mm] \lambda_3 [/mm] unterliegt keinerlei Zwängen, es kann frei gewählt werden, und sofern wir dann unser [mm] \lambda_1, \lambda_2 [/mm] so wie oben berechnet wählen, ist die Gleichung [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 [/mm] erfüllt.
Jetzt probieren wir das aus. Wir wählen einfach mal
[mm] \lambda_3=3,\lambda_2=2\lambda_3=1, \lambda_1=3\lambda_3=4
[/mm]
Es ist
[mm] 4*\vektor{\bar0\\ \bar4 \\ \bar1}+1*\vektor{\bar2\\ \bar3 \\ \bar1}+3*\vektor{\bar1\\ \bar2 \\ \bar0}=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
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> Wo mach ich denn Fehler?
In der Interpretation der Nullzeile.
Gruß v. Angela
P.S.: Die Restklassenbalken habe ich weggelassen. Denk sie Dir hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:16 So 06.03.2011 | | Autor: | melisa1 |
Guten Morgen,
erstmal vielen vielen dank für die ausführliche Antwort!
Nur noch eine kurze Frage:
>
> Aus II': folgt [mm]\lambda_2=-3\lambda_3=2\lambda_3[/mm]
>
Wie kommt man hier auf die [mm] 2\lambda_3?
[/mm]
Lg Melisa
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> Guten Morgen,
>
> erstmal vielen vielen dank für die ausführliche Antwort!
>
> Nur noch eine kurze Frage:
>
>
> >
> > Aus II': folgt [mm]\lambda_2=-3\lambda_3=2\lambda_3[/mm]
> >
>
> Wie kommt man hier auf die [mm]2\lambda_3?[/mm]
Hallo,
"-3" bedeutet hier: "das Inverse zu 3 bzgl der Addition im Körper [mm] \IZ/5\IZ".
[/mm]
Und das Inverse zu 3 ist 2, denn es ist 3+2=0.
Gruß v. Angela
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> Lg Melisa
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