Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 29.11.2011 | | Autor: | Mexxchen |
| Aufgabe | | gegeben seien die reellen funktionen [mm] f_{0} [/mm] : x [mm] \mapsto [/mm] 1, [mm] f_{1} [/mm] = sin, [mm] f_{2} [/mm] = cos. Zeigen Sie, dass [mm] f_{0}, f_{1}, f_{2} [/mm] im reellen Vektorraum [mm] C(\IR) [/mm] der stetigen reellen Funktionen linear unabhängig sind. |
Hey,
ich bräuchte eine Anregung bei dieser Aufgabe. Ich weiß zwar, dass ich die Linearkombination [mm] \lambda_{0} f_{0} [/mm] + [mm] \lambda_{1} f_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} f_{2} [/mm] auswerten muss, um die Bedingungen für die Koeffizienten zu bekommen. Allerdings weiß ich momentan nicht, wie ich anfangen soll.
gruß
Mexxchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> gegeben seien die reellen funktionen [mm]f_{0}[/mm] : x [mm]\mapsto[/mm] 1,
> [mm]f_{1}[/mm] = sin, [mm]f_{2}[/mm] = cos. Zeigen Sie, dass [mm]f_{0}, f_{1}, f_{2}[/mm]
> im reellen Vektorraum [mm]C(\IR)[/mm] der stetigen reellen
> Funktionen linear unabhängig sind.
> Hey,
>
> ich bräuchte eine Anregung bei dieser Aufgabe. Ich weiß
> zwar, dass ich die Linearkombination [mm]\lambda_{0} f_{0}[/mm] +
> [mm]\lambda_{1} f_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2} f_{2}[/mm] auswerten muss, um
> die Bedingungen für die Koeffizienten zu bekommen.
> Allerdings weiß ich momentan nicht, wie ich anfangen soll.
Du mußt zeigen: aus [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IR [/mm] und
(*) [mm]\lambda_{0} f_{0}[/mm] + [mm]\lambda_{1} f_{1}[/mm] + [mm]\lambda_{2} f_{2}[/mm]=0
folgt: [mm] \lambda_1= \lambda_2= \lambda_3=0.
[/mm]
Es gelte also (*). Dann:
[mm]\lambda_{0} f_{0}(x)[/mm] + [mm]\lambda_{1} f_{1}(x)[/mm] + [mm]\lambda_{2} f_{2}(x)[/mm]=0 für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
Nun schau mal, welches LGS Du bekommst, wenn Du x=0, dann [mm] x=\pi [/mm] und dann [mm] x=\pi/2 [/mm] setzt.
FRED
>
> gruß
> Mexxchen
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Di 29.11.2011 | | Autor: | Mexxchen |
danke für die schnelle antwort. ich bekomme folgendes raus:
für x = 0: [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0
für x = [mm] \pi: \lambda_{0} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0
für x = [mm] \pi [/mm] / 2: [mm] \lambda_{0} [/mm] = - [mm] \lambda_{1}
[/mm]
die lineare unabhängigkeit ist damit ja schon bewiesen.
ist die aufgabe damit wirklich schon gelöst?
Mexxchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> danke für die schnelle antwort. ich bekomme folgendes
> raus:
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> für x = 0: [mm]\lambda_{2}[/mm] = 0
Komisch. Ich bekomme: [mm] \lambda_0+\lambda_{2}=0
[/mm]
>
> für x = [mm]\pi: \lambda_{0}[/mm] = [mm]\lambda_{2}[/mm] = 0
>
> für x = [mm]\pi[/mm] / 2: [mm]\lambda_{0}[/mm] = - [mm]\lambda_{1}[/mm]
Jedenfalls folgt: [mm] \lambda_{0}=\lambda_{1}=\lambda_{2} [/mm] = 0
>
> die lineare unabhängigkeit ist damit ja schon bewiesen.
>
> ist die aufgabe damit wirklich schon gelöst?
Ja
FRED
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> Mexxchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 29.11.2011 | | Autor: | Mexxchen |
aber warum bekommst du da [mm] \lambda_{0} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0 raus?
weil der cos [mm] (\pi) [/mm] = -1 , also ist doch dann [mm] \lambda_{0} [/mm] - [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> aber warum bekommst du da [mm]\lambda_{0}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] = 0
> raus?
> weil der cos [mm](\pi)[/mm] = -1 , also ist doch dann [mm]\lambda_{0}[/mm] -
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 0 oder?
Für x=0:
$ [mm] \lambda_{0} f_{0}(0) [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{1} f_{1}(0) [/mm] $ + $ [mm] \lambda_{2} f_{2}(0) [/mm] $=0
[mm] \gdw [/mm]
$ [mm] \lambda_{0}$ [/mm] + $ [mm] \lambda_{2} [/mm] $=0
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Di 29.11.2011 | | Autor: | Mexxchen |
ok^^
danke
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