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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es seinen a ungleich b [mm] \in [/mm] IR. Wir definieren [mm] \alpha_a, \alpha_{(a+b)/2}, \alpha_b \in P_2^{v} [/mm] (also der Dualraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich 2) durch [mm] \alpha_x(f)=f(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] {a,(a+b)/2, b}.
Zeige, dass [mm] \alpha_a, \alpha_{(a+b)/2}, \alpha_b [/mm] linear unabhängig sind. |
Also mir ist klar was l.u. bedeutet,
aber der Ansatz [mm] \beta [/mm] f(a)+ [mm] \lambda [/mm] f((a+b)/2)+ [mm] \mu [/mm] f(b) = 0
bringt micg hier nicht weiter, wenn ich [mm] \beta [/mm] = [mm] \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = 0 erhalten will.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 22.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du die f mal explizit hingeschrieben? warum bringt das nichts?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Könntest du mir vielleicht mal zeigen, wie man die f's explizit hinschreibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 22.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus welchem Raum sind die f? wie sehen Objekte in dem raum aus?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 So 22.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Die f's sind aus dem Dualraum der Polynome (mit d kleiner gleich 2). Aber mein Problem ist eben, dass ich nicht weiß , wie die Objekte, die in diesem Raum leben, aussehen. Der Polynomeraum an sich ist klar, aber dessen Dualraum....?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 22.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die a sind us dem Dualraum wohwer stammen dann die f?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Ein Element [mm] \alpha \in P_2^v [/mm] ist eine lineare Abb.
[mm] \alpha:P_2 \to \IR.
[/mm]
Für x [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] \alpha_x [/mm] def. durch:
[mm] \alpha_x(f):=f(x) [/mm] für f [mm] \in P_2
[/mm]
("Auswertungsfunktional")
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:20 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, also stammen dann die f's aus IR, wenn ich Freds Beitrag richtig verstanden hab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, also stammen dann die f's aus IR, wenn ich Freds
> Beitrag richtig verstanden hab?
Nein !
Allgemein: ist V ein Vektorraum über dem Körper K, so ist der zu V gehörende Dualraum def. durch:
[mm] $\{ \phi:V \to K: \phi ~ ist ~ linear ~\}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Da die f's weder aus dem Dualraum noch aus IR stammen, bleibt doch nur noch der Körper der rellen Polynome...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Da die f's weder aus dem Dualraum noch aus IR stammen,
> bleibt doch nur noch der Körper der rellen Polynome...?
Das habe ich oben geschrieben:
"Ein Element $ [mm] \alpha \in P_2^v [/mm] $ ist eine lineare Abb.
$ [mm] \alpha:P_2 \to \IR. [/mm] $
Für x $ [mm] \in \IR [/mm] $ ist $ [mm] \alpha_x [/mm] $ def. durch:
$ [mm] \alpha_x(f):=f(x) [/mm] $ für f $ [mm] \in P_2 [/mm] $
("Auswertungsfunktional")"
Also: f $ [mm] \in P_2 [/mm] $
FRED
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also ich will ja zeigen:
[mm] \beta [/mm] f(a)+ [mm] \lambda [/mm] f((a+b)/2)+ [mm] \mu [/mm] f(b) = 0
--> [mm] \beta [/mm] = [mm] \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = 0
Und weiß , dass die f's aus [mm] P_2 [/mm] sind und die a bzw. b aus dem Dualraum.
Trotzdem finde ich jetzt nicht wirklich einen Ansatz...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also ich will ja zeigen:
> [mm]\beta[/mm] f(a)+ [mm]\lambda[/mm] f((a+b)/2)+ [mm]\mu[/mm] f(b) = 0
Ja, und zwar für alle f [mm] \in P_2
[/mm]
> --> [mm]\beta[/mm] = [mm]\lambda[/mm] = [mm]\mu[/mm] = 0
> Und weiß , dass die f's aus [mm]P_2[/mm] sind und die a bzw. b aus
> dem Dualraum.
Nein ! a und b sind doch reelle Zahlen !
> Trotzdem finde ich jetzt nicht wirklich einen Ansatz...
Der Ansatz ist:
[mm]\beta[/mm] f(a)+ [mm]\lambda[/mm] f((a+b)/2)+ [mm]\mu[/mm] f(b) = 0 für alle f [mm] \in P_2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:29 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Mhm, ok. Wenn man das für alle f [mm] \in P_2 [/mm] betrachten soll,
und die f's aus [mm] P_2 [/mm] sind, kann ich mir dann f als ganzrationale Funktion 2.Grades vorstellen? Also [mm] f(x)=ax^2+bx+c?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:40 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mhm, ok. Wenn man das für alle f [mm]\in P_2[/mm] betrachten soll,
> und die f's aus [mm]P_2[/mm] sind, kann ich mir dann f als
> ganzrationale Funktion 2.Grades vorstellen? Also
> [mm]f(x)=ax^2+bx+c?[/mm]
>
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Und wie bestimme ich aus dieser Funktion die 3 Koeffizienten?
Wahrscheinlich muss man hier verwenden, dass f(a), f(b) und f((a+b)/2) , oder? jetzt weiß ich aber doch nicht was dabei jeweils ,,rauskommt'' , also
f(a) = ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Und wie bestimme ich aus dieser Funktion die 3
> Koeffizienten?
> Wahrscheinlich muss man hier verwenden, dass f(a), f(b)
> und f((a+b)/2) , oder? jetzt weiß ich aber doch nicht was
> dabei jeweils ,,rauskommt'' , also
> f(a) = ???
Wir haben:
(*) $ [mm] \beta [/mm] $ f(a)+ $ [mm] \lambda [/mm] $ f((a+b)/2)+ $ [mm] \mu [/mm] $ f(b) = 0 für alle f $ [mm] \in P_2 [/mm] $
Wähle 3 linear unabhängige [mm] f_1,f_2,f_3 \in P_2 [/mm] und werte damit (*) aus.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 23.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also setzte ich z.B. [mm] f_1=1 [/mm] , [mm] f_2=x [/mm] und [mm] f_3=x^2 [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Di 24.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also setzte ich z.B. [mm]f_1=1[/mm] , [mm]f_2=x[/mm] und [mm]f_3=x^2[/mm] ?
Ja. Mach mal vorwärts
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:18 Di 24.01.2012 | | Autor: | rollroll |
[mm] \beta [/mm] f(a)+ [mm] \lambda [/mm] f((a+b)/2)+ [mm] \mu [/mm] f(b) = 0 für alle f [mm] \in P_2
[/mm]
Wähle [mm] f_1=1, f_2=x [/mm] und [mm] f_3=x^2
[/mm]
Darf ich das jetzt einfach in die Gleichung einsetzen , also so:
[mm] \beta [/mm] *1+ [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \mu x^2=0
[/mm]
Ich es hier dann nicht schon offensichtlich, dass die Koeffizienten 0 sein müssen?
Braucht man eigentlich bei der Aufgabe nicht, dass die [mm] \alpha_n [/mm] aus dem DUALRAUM der Polynome mit d kleiner gleich 2 sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst die Behauptung nacheinander für die 3 basisvektoren zeigen.
in deine Gl. [mm] f_1,f_2,f_3 [/mm] auf einmal einzusetzen macht doch keinen Sinn?
Wenn du etwas mit den Basisvektoren gezeigt hast gilt es doch auch für alle Vektoren (warum? begründe!)
Gruss leduart)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Di 24.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Wenn ich es z.B. zunächst für den 1.Basisvektor 1 zeigen will, dann ich weiß ich aber doch nit was f(a), F((a+b)/2) bzw. f(b) ist...
Was soll ich dann einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Di 24.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welche Werte nimmt die funktion f(x)=1 bei x=a, x=b, x=(a+b)/2 an?
entsprechend bei f(x)=x und [mm] f(x)=x^2
[/mm]
Du hast doch schon mal Funktionswerte ausgerechnet?
irgendwie sieht es do aus, als hättest du momentan dein Denken abgestellt zu Gunsten von fragen`.
etwa ab Klasse 8 spätestens kann ein Schler Werte in ne Funktion einsetzen, auch wenn es mal "abstrakte zahlen wie a oder b sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 24.01.2012 | | Autor: | rollroll |
1. fall f(x)=1
--> f(a)=1, f(b)=1 und f((a+b)/2)=1
2. fall f(x)=x
--> f(a)=a , f(b) = b und f((a+b)/2)=(a+b)/2
3.- fall [mm] f(x)=x^2
[/mm]
--> [mm] f(a)=a^2, f(b)=b^2 [/mm] und [mm] f((a+b)/2))=(a^2+2ab+b^2)/4
[/mm]
Und dann in [mm] \beta [/mm] f(a) + [mm] \lambda [/mm] f((a+b)/2) + [mm] \mu [/mm] f(b) = o einsetzen:
Fall 1:
[mm] \beta [/mm] + [mm] \lambda [/mm] + [mm] \mu [/mm] = 0
Fall 2:
[mm] \beta [/mm] a+ [mm] \lambda [/mm] (a+b)/2 + [mm] \mu [/mm] b =0
Fall 3:
[mm] \beta a^2 [/mm] + [mm] \lambda (a^2+2ab+b^2)/4 [/mm] + [mm] \mu b^2 [/mm] =0
Gut, Fall 1 ist ja dann trivial.
Aber wie geht man dann bei den beiden anderen vor?
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> Und dann in [mm]\beta[/mm] f(a) + [mm]\lambda[/mm] f((a+b)/2) + [mm]\mu[/mm] f(b) = o
> einsetzen:
>
> Fall 1:
> [mm]\beta[/mm] + [mm]\lambda[/mm] + [mm]\mu[/mm] = 0
>
> Fall 2:
> [mm]\beta[/mm] a+ [mm]\lambda[/mm] (a+b)/2 + [mm]\mu[/mm] b =0
>
> Fall 3:
> [mm]\beta a^2[/mm] + [mm]\lambda (a^2+2ab+b^2)/4[/mm] + [mm]\mu b^2[/mm] =0
>
> Gut, Fall 1 ist ja dann trivial.
Hallo,
was an dem "Fall" ist "trivial"?
Und wenn der, warum dann die anderen nicht?
Es gibt hier keine "Fälle".
Es gibt ein LGS bestehend aus drei Gleichungen mit drei Variablen, und dieses ist zu lösen.
LG Angela
> Aber wie geht man dann bei den beiden anderen vor?
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> Es seinen [mm] a\not=b[/mm] [mm]\in[/mm] IR. Wir definieren [mm]\alpha_a, \alpha_{(a+b)/2}, \alpha_b \in P_2^{v}[/mm]
> (also der Dualraum der reellen Polynome vom Grad kleiner
> gleich 2) durch [mm]\alpha_x(f)=f(x)[/mm] für x [mm]\in[/mm] {a,(a+b)/2,
> b}.
> Zeige, dass [mm]\alpha_a, \alpha_{(a+b)/2}, \alpha_b[/mm] linear
> unabhängig sind.
Hallo,
ich habe den Eindruck, daß Du inzwischen, obgleich Du kurz vor der Lösung der Aufgabe bist, komplett den Überblick verloren hast oder ihn nie hattest.
Deshalb mal eine kurze Zusammenfassung dessen, was zu tun ist.
Gezeigt werden soll die lineare Unabhängigkeit dreier Funktionen, die aus dem [mm] P_2 [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbilden.
Also ist zu zeigen, daß aus
[mm] \lambda_1\alpha_a+\lambda_2\alpha_{(a+b)/2}+\lambda_3\alpha_b=0_{ P_2^{v}}
[/mm]
folgt, daß [mm] \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
[/mm]
Mach Dir klar, daß wir es in [mm] \lambda_1\alpha_a+\lambda_2\alpha_{(a+b)/2}+\lambda_3\alpha_b=0_{ P_2^{v}} [/mm] mit der Gleichheit von Funktionen zu tun haben. Rechts steht die Null im Dualraum, also die Funktion, die jedes Polynom auf die Zahl 0 abbildet.
Wann nun sind zwei Funktionen (hier: rechte und linke Seite) gleich?
Wenn ihre Funktionswerte an jeder Stelle des Definitionsbereiches übereinstimmen.
Für uns bedeutet das: für alle [mm] f\in P_2 [/mm] gilt
[mm] (\lambda_1\alpha_a+\lambda_2\alpha_{(a+b)/2}+\lambda_3\alpha_b)(f)=0_{ P_2^{v}}(f)
[/mm]
<==>
[mm] \lambda_1\alpha_a(f)+\lambda_2\alpha_{(a+b)/2}(f)+\lambda_3\alpha_b(f)=0_{ P_2^{v}}(f) [/mm] für alle [mm] f\in P_2.
[/mm]
<==>
[mm] \lambda_1f(a)+[/mm] [mm]\lambda_2[/mm] f((a+b)/2)+ [mm]\lambda_3[/mm] f(b) = 0 für alle [mm] f\in P_2.
[/mm]
Jetzt kommt ein wichtiger Gedanke:
Wenn diese Gleichung für alle f gilt, dann gilt sie natürlich insbesondere für jedes f, welches ich mir aussuche.
Es folgt also insbesondere, daß für [mm] f_i [/mm] mit [mm] f_1(x):=1, f_2(x)=x, f_3(x)=x^2 [/mm] (gleichzeitig) gilt
[mm] \lambda_1f_1(a)+[/mm] [mm]\lambda_2[/mm] [mm] f_1((a+b)/2)+[/mm] [mm]\lambda_3[/mm] [mm] f_1(b) [/mm] = 0
[mm] \lambda_1f_2(a)+[/mm] [mm]\lambda_2[/mm] [mm] f_2((a+b)/2)+[/mm] [mm]\lambda_3[/mm] [mm] f_2(b) [/mm] = 0
[mm] \lambda_1f_3(a)+[/mm] [mm]\lambda_2[/mm] [mm] f_3((a+b)/2)+[/mm] [mm]\lambda_3[/mm] [mm] f_3(b) [/mm] = 0
Hieraus folgt nun das, wo Du stehengeblieben warst:
$ [mm] \lambda_1 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ = 0
$ [mm] \lambda_1$ [/mm] a+ $ [mm] \lambda_2 [/mm] $ (a+b)/2 + $ [mm] \lambda_3 [/mm] $ b =0
$ [mm] \lambda_1 a^2 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_2 (a^2+2ab+b^2)/4 [/mm] $ + $ [mm] \lambda_1_3 b^2 [/mm] $ =0
Löse dieses nun und schau, ob das herauskommst, was Du Dir wünschst.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Mi 25.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Also so:?
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\ a & (a+b)/2 & b & 0 \\ a^2 & (a^2+2ab+b^2)/4 & b^2 & 0}
[/mm]
Aufgelösst ergibt dies:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 &0 \\ 0 & (a+b)/2-a & b-a & 0 \\ 0 & 0 & 1/2b^2-1/4a^2-ab & 0}
[/mm]
Und dann setzt man
[mm] (1/2b^2-1/4a^2-ab [/mm] )* [mm] \lambda_3 [/mm] =0
Also ist entweder der 1. oder der 2. Term gleich 0.
Weshalb kann jetzt aber nicht auch der 1. Term 0 werden?
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> Also so:?
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 0 \\
a & (a+b)/2 & b & 0 \\
a^2 & (a^2+2ab+b^2)/4 & b^2 & 0}[/mm]
>
> Aufgelösst ergibt dies:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 &0 \\
0 & (a+b)/2-a & b-a & 0 \\
0 & 0 & 1/2b^2-1/4a^2-ab & 0}[/mm]
>
Hallo,
ich glaube, die letzte Zeile stimmt nicht.
Rechne mal schrittweise vor, wie Du zu der Matrix kommst.
> Und dann setzt man
> [mm](1/2b^2-1/4a^2-ab[/mm] )* [mm]\lambda_3[/mm] =0
Man "setzt" das nicht, sondern die letzte Zeile der Matrix bedeutet das.
Wenn Du Dir sicher bist, daß der Term vorm [mm] \lambda_3 [/mm] von 0 verschiedn ist, kannst Du dividieren und hast [mm] \lambda_3=0.
[/mm]
>
> Also ist entweder der 1. oder der 2. Term gleich 0.
???
> Weshalb kann jetzt aber nicht auch der 1. Term 0 werden?
???
Ich weiß nicht, von welchen Termen Du gerade sprichst.
Du mußt das Lösen von LGS wiederholen.
Hier könnte man prüfen, ob der Rang der Matrix =3 ist, dann wäre die Lsg [mm] \lambda_i=0 [/mm] die einzige.
Aber prüfe erstmal die Matrix.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Do 26.01.2012 | | Autor: | rollroll |
Ok, hab's jetzt raus, hatte mich verrechnet.
In der letzten zeile steht dann:
[mm] (1/2a^2-ab+1/2b^2) \lambda_3 [/mm] =0
--> [mm] (a^2-2ab+b^2) \lambda_3 [/mm] =0
--> [mm] (a-b)^2 \lambda_3 [/mm] =0
--> da a ungleich b ist [mm] \lambda_3 [/mm] =0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:44 Do 26.01.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ok, hab's jetzt raus, hatte mich verrechnet.
> In der letzten zeile steht dann:
> [mm](1/2a^2-ab+1/2b^2) \lambda_3[/mm] =0
> --> [mm](a^2-2ab+b^2) \lambda_3[/mm] =0
> --> [mm](a-b)^2 \lambda_3[/mm] =0
> --> da a ungleich b ist [mm]\lambda_3[/mm] =0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
meili
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