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| Aufgabe | Es sei $V$ ein Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] und die Vektoren [mm] $v_1, v_2, v_3, v_4 \in [/mm] V$ seien linear unabhängig.
a) Zeigen Sie, daß die durch
[mm]\begin{array}{lcrrrr}
w_1 & = & & v_2 &- v_3 &+ 2v_4 \\
w_2 & = & v_1 &+ 2v_2 &- v_3 &- v_4 \\
w_3 & = & - v_1 &+ v_2 &+ v_3 &+ v_4
\end{array}[/mm]
definierten Vektoren [mm] $w_1, w_2, w_3$ [/mm] linear unabhängig sind.
b) Geben Sie einen Vektor [mm] $w_4$ [/mm] aus [mm] $\langle v_1,v_2,v_3,v_4\rangle$ [/mm] an, so daß
[mm] $\{w_1,w_2,w_3,w_4\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\langle v_1,v_2,v_3,v_4\rangle$ [/mm] ist.
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Hallo zusammen !
Hab da hier einige Problemchen mit dieser Aufgabe. Wäre nett von euch, wenn mir hier einer helfen könnte.
Zu a) Da hab ich in nem Buch ne Definition gefunden, die ich hier einfach angewendet habe: "Die n Vektoren a1, a2, ..., an aus dem m-dimensionalen Raum [mm] \IR^m [/mm] heißen linear unabhängig, wenn die Vektorgleichung : [mm] \lambda1*a1 [/mm] + [mm] \lambda*a2 [/mm] + ... + [mm] \lambda*an [/mm] = 0 nur für [mm] \lambda1= \lambda2 [/mm] = ... = [mm] \lambda [/mm] n = 0 erfüllt werden kann."
Ok, das hab ich dann hier angewendet, bekomme ein lineares Gleichungssystem raus, bei dem die Bedingung nur erfüllt ist, wenn alle [mm] \lambda [/mm] ´s = 0 sind ==> linear unabhängig.
Soweit so schmerzlos (hoffentlich stimmts bis hierhin)
Zu b) Hier hängts bei mir gewaltig, hab dazu auch leider kein Vergleichsbeispiel gefunden, wäre nett, wenn mir das einer mal vormachen könnte.
Weiß zwar , was ne Basis ist :
Sei V ein Vektorraum. Eine maximale Menge B von linear unabhängigen Vektoren aus V heißt Basis von V.
Aber wie wende ich das hier an ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Julchen!
> Es sei V ein Vektorraum über [mm]\IR[/mm] und die Vektoren v1, v2,
> v3, v4 [mm]\in[/mm] V seien linear unabhängig.
> a) Zeigen Sie, daß die durch
> w1 = v2 - v3 + 2v4
> w2 = v1 + 2v2 - v3 - v4
> w3 = - v1 + v2 + v3 + v4
> definierten Vektoren w1, w2, w3 linear unabhängig sind.
>
> b) Geben Sie einen Vektor w4 aus <v1,v2,v3,v4> an, so daß
> {w1,w2,w3,w4} eine Basis von <v1,v2,v3,v4> ist.
> Zu a) Da hab ich in nem Buch ne Definition gefunden, die
> ich hier einfach angewendet habe: "Die n Vektoren a1, a2,
> ..., an aus dem m-dimensionalen Raum [mm]\IR^m[/mm] heißen linear
> unabhängig, wenn die Vektorgleichung : [mm]\lambda1*a1[/mm] +
> [mm]\lambda*a2[/mm] + ... + [mm]\lambda*an[/mm] = 0 nur für [mm]\lambda1= \lambda2[/mm]
> = ... = [mm]\lambda[/mm] n = 0 erfüllt werden kann."
>
> Ok, das hab ich dann hier angewendet, bekomme ein lineares
> Gleichungssystem raus, bei dem die Bedingung nur erfüllt
> ist, wenn alle [mm]\lambda[/mm] ´s = 0 sind ==> linear unabhängig.
>
> Soweit so schmerzlos (hoffentlich stimmts bis hierhin)
Das Vorgehen war absolut richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu b) Hier hängts bei mir gewaltig, hab dazu auch leider
> kein Vergleichsbeispiel gefunden, wäre nett, wenn mir das
> einer mal vormachen könnte.
> Weiß zwar , was ne Basis ist :
> Sei V ein Vektorraum. Eine maximale Menge B von linear
> unabhängigen Vektoren aus V heißt Basis von V.
> Aber wie wende ich das hier an ?
Du musst darauf achten, dass durch die Hinzunahme eines Vektors [mm] $v_i$ [/mm] aus [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] die dann entstehende Menge [mm] $\{w_1,w_2,w_3,v_i\}$ [/mm] linear unabhängig bleibt, d.h. dass sich das [mm] $v_i$ [/mm] nicht als Linearkombination von [mm] $w_1,w_2,w_3$ [/mm] schreiben lässt. Es muss also:
[mm] $v_i \notin Span(w_1,w_2,w_3)$
[/mm]
gelten. [mm] $v_2$ [/mm] etwa ginge nicht, da ja
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} w_2 [/mm] + [mm] \frac{1}{3} w_3$
[/mm]
gilt.
Liebe Grüße
Julius
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:33 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julchen01 |
Danke erstmal !
Verstehe dank deiner Erklärung jetzt erstmal überhaupt, was ich prinzipiell zu machen hätte, allerdings haperts doch ein bisschen mit der Ausführung.
{ [mm] w_{1}, w_{2}, w_{3}, v_{i} [/mm] } soll ja linear unabhängig bleiben, also wende ich wieder meine in meinem Buch gefundene Definition von linearer Unabhängigkeit an.
[mm] \lambda_{1}*w_{1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*w_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*w_{3} [/mm] + [mm] \lambda_{4}*v_{i} [/mm] = 0 ?
Stimmt das so, oder gehört das [mm] \lambda_{4} [/mm] weg ?
Dann lös ich das ganze auf , für [mm] w_{1}, w_{2}, w_{3} [/mm] setz ich eben meine angegeben v´s ein, dann hab ich:
[mm] \lambda_{1}*(v_{2}-v_{3}+2v_{4})+ \lambda_{2}*(v_{1}+2v_{2}-v_{3}-v_{4})+\lambda_{3}*(-v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4})+ \lambda_{4}*v_{i} [/mm] = 0 ?
Wie gehts aber jetzt mit diesem [mm] \lambda_{4}*v_{i} [/mm] konkret weiter ? Oder bin ich hier überhaupt auf dem Holzweg ?
Hab davon doch überhaupt keine Ahnung, ich mach sowas hier zum ersten Mal ...
Würde mich über eure Hilfe wirklich sehr freuen ! Danke schon mal jetzt !
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Sa 21.01.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Julchen!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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