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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Lineare Unabhängigkeit beweise
Lineare Unabhängigkeit beweise < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lineare Unabhängigkeit beweise: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

Aufgabe
Die Vektoren [mm] \vec{a}_{1} [/mm] und [mm] \vec{a}_{2} [/mm] seien linear unabhängig.
h sei eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet, die außerdem folgende Eigenschaften besitzt:
1.) [mm] h(\vec{a}+\vec{b})=h(\vec{a})+h(\vec{b}) [/mm]
2.) [mm] \lambda*h (\vec{a})=h(\lambda\vec{a}) [/mm]
3.) Falls [mm] h(\vec{a})=h(\vec{b}), [/mm] so folgt zwingend [mm] \vec{a}=\vec{b} [/mm]
Für alle Vektoren [mm] \vec{a},\vec{b}; [/mm] für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm]

Beweise: [mm] h(\vec{a}_{1}) [/mm] und [mm] h(\vec{a}_{2}) [/mm] sind linear unabhängig...



ich bin am verzweifeln... ich bekomm nicht mal einen Ansatz zu dieser Aufgabe hin :-(




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Do 03.12.2009
Autor: fred97


> Die Vektoren [mm]\vec{a}_{1}[/mm] und [mm]\vec{a}_{2}[/mm] seien linear
> unabhängig.
>  h sei eine Funktion, die Vektoren auf Vektoren abbildet,
> die außerdem folgende Eigenschaften besitzt:
>  1.) [mm]h(\vec{a}+\vec{b})=h(\vec{a})+h(\vec{b})[/mm]
>  2.) [mm]\lambda*h (\vec{a})=h(\lambda\vec{a})[/mm]
>  3.) Falls
> [mm]h(\vec{a})=h(\vec{b}),[/mm] so folgt zwingend [mm]\vec{a}=\vec{b}[/mm]
>  Für alle Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b};[/mm] für alle [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>  
> Beweise: [mm]h(\vec{a}_{1})[/mm] und [mm]h(\vec{a}_{2})[/mm] sind linear
> unabhängig...
>  
>
>
> ich bin am verzweifeln... ich bekomm nicht mal einen Ansatz
> zu dieser Aufgabe hin :-(

Du sollst zeigen:

aus $t,s [mm] \in \IR$ [/mm] und (*) $th( [mm] \vec{a}_{1})+sh( \vec{a}_{2}) [/mm] = 0 $

folgt $t=s=0$

Zeige nun mit 1.) und 2.) , dass aus (*) folgt:

                 $h(t [mm] \vec{a}_{1}+s\vec{a}_{2}) [/mm] = h(0) $

Benutze jetzt 3.) und die lineare Unabhängigkeit von [mm] \vec{a}_{1} [/mm] und [mm] \vec{a}_{2} [/mm] um zu $t=s=0$ zu gelangen.

FRED


>  
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

tut mir leid ich kann dir nicht ganz folgen...


wo kommen t und s her??


Bezug
                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 Do 03.12.2009
Autor: fred97


> tut mir leid ich kann dir nicht ganz folgen...
>  
>
> wo kommen t und s her??


So, dann sind wir am Anfang der Geschichte : wenn Du 2 vektoren hast, wann heißen die beiden linear unabhängig ?  Ist Dir das überhaupt klar ?

FRED

>  


Bezug
                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

zwei vektoren heißen linear abhängig wenn eine nicht triviale darstellung des nullvektors möglich ist...

heißt wenn mindestens ein parameter ungleich null ist....


richtig??

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Do 03.12.2009
Autor: fred97


> zwei vektoren heißen linear abhängig wenn eine nicht
> triviale darstellung des nullvektors möglich ist...
>
> heißt wenn mindestens ein parameter ungleich null ist....
>  
>
> richtig??

Ja und wann heißen sie linear unabhängig ?

Antworte jetzt bitte nicht mit "wenn sie nicht linear abhängig sind" !

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

wenn nur eine triviale darstellung des nullvektors möglich ist..


also alle parameter sind gleich 0 und es gibt sonst keine weitere darstellung...



Bezug
                                                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Do 03.12.2009
Autor: fred97

Na also, und was habe ich Dir geschrieben:

"Du sollst zeigen:

aus $ t,s [mm] \in \IR [/mm] $ und (*) $ th( [mm] \vec{a}_{1})+sh( \vec{a}_{2}) [/mm] = 0 $

folgt $ t=s=0 $"

Jetzt klar ?

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

ach ja... :-)



ich war von dem s und dem t etwas verwirrt aber jetzt ist das klar :-)



vielen dank :)

Bezug
                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

ich habe gerade noch einmal versucht den beweis ausführlich darzustellen:


ich verwende [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ansatt s und t


[mm] \lambda*h(\vec{a}_{1})+\mu*h(\vec{a}_{2})=0 [/mm]

=> [mm] \lambda=\mu=0 [/mm]

aus 1.) folgt:

[mm] h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0 [/mm]

aber wie genau komme ich nun auf diese zeile:

[mm] h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))= [/mm] h(0)

Bezug
                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Do 03.12.2009
Autor: fred97


> ich habe gerade noch einmal versucht den beweis
> ausführlich darzustellen:
>  
>
> ich verwende [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] ansatt s und t
>
>
> [mm]\lambda*h(\vec{a}_{1})+\mu*h(\vec{a}_{2})=0[/mm]
>  
> => [mm]\lambda=\mu=0[/mm]
>  
> aus 1.) folgt:
>  
> [mm]h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0[/mm]
>  
> aber wie genau komme ich nun auf diese zeile:
>  
> [mm]h*(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=[/mm] h(0)  


Zeige: h(0) = 0

FRED

Bezug
                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

Ok...

Nun folgt aus 3.):

[mm] \lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0 [/mm]

Da [mm] \lambda=\mu=0 [/mm] folgt [mm] \vec{a}_{1} [/mm] und [mm] \vec{a}_{2} [/mm] sind lin. unabhängig...

Somit sind auch [mm] h(\vec{a}_{1}) [/mm] und [mm] h(\vec{a}_{2}) [/mm] lin. unabhängig...

Ist der Beweis so komplett??

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Do 03.12.2009
Autor: fred97


> Ok...

Hast Du h(0) = 0 zeigen können ?


>  
> Nun folgt aus 3.):
>  
> [mm]\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0[/mm]

Richtig

>  
> Da [mm]\lambda=\mu=0[/mm] folgt [mm]\vec{a}_{1}[/mm] und [mm]\vec{a}_{2}[/mm] sind
> lin. unabhängig...

Nein !!!!! [mm]\vec{a}_{1}[/mm] und [mm]\vec{a}_{2}[/mm] sind doch nach Vor. lin. unabhängig!! Und daher folgt  [mm]\lambda=\mu=0[/mm]


Somit sind auch [mm]h(\vec{a}_{1})[/mm] und [mm]h(\vec{a}_{2})[/mm] lin.
unabhängig...

>  
> Ist der Beweis so komplett??

Ja , bis auf h(0) =0

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:01 Do 03.12.2009
Autor: Lenzen666

achso ja h=h(0)...



[mm] h(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0 [/mm]

da [mm] \lambda=\mu=0 [/mm]

folgt: [mm] \lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0 [/mm]

also h(0)=0

Bezug
                                                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Do 03.12.2009
Autor: fred97


> achso ja h=h(0)...
>  
>
>
> [mm]h(\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2}))=0[/mm]
>  
> da [mm]\lambda=\mu=0[/mm]
>
> folgt: [mm]\lambda(\vec{a}_{1})+\mu(\vec{a}_{2})=0[/mm]
>  
> also h(0)=0

Unsinn ! Allein aus den Eigenschaft  2.) kannst Du zeigen, dass h(0) =0 ist:

           $h(0) = h(0*0) = 0*h(0) = 0$

FRED

Bezug
                                                        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:11 Do 03.12.2009
Autor: reverend

Hallo,

ja, ok. Oder:

[mm] h(\vec{c})=h(\vec{c}+\vec{0})=h(\vec{c})+h(\vec{0}) [/mm]

lg
rev

PS: Diese Mitteilung stand irgendwo verloren in der Prärie herum. Ich hatt sie schon gegen 14:41 hier hinterlassen wollen, aber sie muss mir aus der Tasche gefallen sein. :-)

Bezug
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