Lineare Unterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Di 11.11.2008 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Betrachten Sie die acht Mengen von Vektoren [mm] x=(x_{1},x_{2})\in \IR^2 [/mm] definiert durch die Bedingungen
1) [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
2) [mm] (x_{1})^2 [/mm] + [mm] (x_{2})^2 [/mm] = 0
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[edit] Welche dieser Mengen sind lineare Unterräume?
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Hallo zusammen,
ich habe hier das Problem, dass ich gar nicht weiß wie ich da ran gehen soll.
Mir ist das Prinzip des Unterraums auch noch nicht so ganz klar.
Ich weiß, dass der Unterraum nicht [mm] \emptyset [/mm] sein darf, dass U bezüglich Addition abgeschlossen sein muss und bezüglich Skalarmultiplikation ebenfalls.
bei dem ersten würde ich sagen, [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] ist nicht [mm] \emptyset [/mm] (wobei ich nicht weiß wie ich das nachweisen soll), aber wie gehe ich mit der Addition und Multiplikation um ???
Ich glaube es ist gar nicht so schwer, aber ich weiß nicht wie ich das explizit schreiben soll.
Vielen Dank schon mal.
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> Betrachten Sie die acht Mengen von Vektoren
> [mm]x=(x_{1},x_{2})\in \IR^2[/mm] definiert durch die Bedingungen
> 1) [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 0
> 2) [mm](x_{1})^2[/mm] + [mm](x_{2})^2[/mm] = 0
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> [edit] Welche dieser Mengen sind lineare Unterräume?
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> Hallo zusammen,
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> ich habe hier das Problem, dass ich gar nicht weiß wie ich
> da ran gehen soll.
> Mir ist das Prinzip des Unterraums auch noch nicht so ganz
> klar.
> Ich weiß, dass der Unterraum nicht [mm]\emptyset[/mm] sein darf,
> dass U bezüglich Addition abgeschlossen sein muss und
> bezüglich Skalarmultiplikation ebenfalls.
Hallo,
schön, daß Du schonmal die Unterraumkriterien aufgeschrieben hast.
Wir schauen jetzt die erste der Aufgaben an.
Gegeben hast Du eine Menge V, die wie folgt definiert ist: [mm] V:=\{\vektor{x_1\\x_2}\in \IR^2 | x_1+x_2=0\}.
[/mm]
Diese Menge V ist eine Teilmenge des [mm] \IR^2. [/mm] Sie enthält Vektoren mit einer ganz bestimmten Eigenschaft: die erste und zweite Komponente ergeben addiert 0.
Du sollst nun zeigen, daß diese Menge zusammen mit der Addition und der Multiplikation mit Skalaren, die Ihr für den [mm] \IR- [/mm] Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] definiert hattet, selbst wieder ein Vektorraum ist. Da V eine Teilmenge des großen Raumes ist und die Verknüpfungen gleich, sagt man "Unterraum".
Aus Gründen, die in der Vorlesung besprochen wurden, braucht man in dieser Situation nicht alle vektorraumaxiome nachzurechnen, sondern man muß nur die von Dir genannten Unterraumkriterien prüfen.
1. [mm] V\not=\emptyset.
[/mm]
2. Abgeschlossenheit bzgl der Addition
3. Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikation mit Skalaren.
zu 1.
Hier muß man ein konkretes Element vorzeigen, welches in der Menge liegt. Ich nehme [mm] \vektor{45\\-45}.
[/mm]
Kannst Du begründen, warum der in V ist?
(Man kann sich manchmal viel Arbeit sparen, indem man bei Punkt 1. gleich nachschaut, ob denn überhaupt das neutrale Element der Addition aus dem Oberraum in der Menge liegt. Wenn nicht, kann man aufhörn, dann ist's gewiß kein Untervektorraum. Liegt's drin, hat man ein Vorzeigeelement gefunden. Liegt dieses Element im vorliegenden Fall in V ?)
zu 2.
Am besten formuliert man sich die Abgeschlossenheit bzgl der Addtion für diese Aufgabenstellung in Worten, denn ie Förmelchen verlocken sehr, daß Falsche zu tun - oder nicht zu wissen, was zu tun ist...
Abgeschlossenheit bzgl. der Addition bedeutet: wenn ich zwei Elemente aus V addiere, liegt das Ergebnis auch wieder in V.
Das prüfen wir nun. Wir nehmen zwei beliebige Elemente aus V her:
Seien [mm] \vektor{a_1\\a_2}, \vektor{b_1\\b_2} \in [/mm] V. (Überlege Dir an dieser Stelle, was das für ihre Komponenten bedeutet.)
Es ist [mm] \vektor{a_1\\a_2}+ \vektor{b_1\\b_2}=\vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2}.
[/mm]
Nun mußt Du entscheiden, ob [mm] \vektor{a_1+b_1\\a_2+b_2} [/mm] in V ist. Dazu rechnest Du aus, was herauskommt, wenn Du die Komponenten addierst. Berücksichtige, daß die beiden Startvektoren nach Voraussetzung aus V sind.
zu 3.
Falls Du 2, verstanden hast, wirst Du 3. jetzt sehr einfach finden.
Es geht darum, ob das Produkt aus einer beliebigen reellen Zahl und einem Element aus V wieder in V liegt.
Schauen wir nach: sei [mm] r\in \IR, \vektor{a_1\\a_2}\in [/mm] V. (Überlege Dir an dieser Stelle, was das für ihre Komponenten bedeutet.).
Nun wird multipliziert:
r* [mm] \vektor{a_1\\a_2}= \vektor{ra_1\\ra_2}.
[/mm]
Teste nun durch Addieren der Komponenten, ob dieser Vektor in V ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Di 11.11.2008 | | Autor: | dupline |
Ahhhh.. danke.
Ich glaub jetzt hab ich's kapiert.
Ich hab bei 1. 45 und -45 bzw. beim neutralen Element 0 und -0 und das ergibt wieder 0. Somit ist 1. erfüllt.
2. hab ich einfach für die Elemente [mm] a_{1} [/mm] usw. [mm] \vektor{1 \\ -1} und\vektor{2 \\ -2} [/mm] genommen und die Summe ergibt dann [mm] \vektor{3 \\ -3} [/mm] welche wieder in V liegt.
3. kann ich hier einfach mit 1 multiplizieren, oder muss ich das allgemein mit r [mm] \in \IR [/mm] zeigen ?
wobei das ja auch möglich ist, denn mit r multipliziert, ist ja nix anderes als r mal addieren und das hab ich ja in 2. gezeigt oder ?
Danke dir !!
viele grüße dupline
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> Ahhhh.. danke.
> Ich glaub jetzt hab ich's kapiert.
> Ich hab bei 1. 45 und -45 bzw. beim neutralen Element 0 und
> -0 und das ergibt wieder 0. Somit ist 1. erfüllt.
>
> 2. hab ich einfach für die Elemente [mm]a_{1}[/mm] usw. [mm]\vektor{1 \\ -1} und\vektor{2 \\ -2}[/mm]
> genommen und die Summe ergibt dann [mm]\vektor{3 \\ -3}[/mm] welche
> wieder in V liegt.
hallo,
nein, so dafst Du das bei 2. nicht machen. Du mußt hier ganz allgemein, also mit den Buchstaben [mm] a_1, a_2, b_1, b_2 [/mm] arbeiten und bei 3. genauso.
Ich hatte Dir den Anfang von 2. ja schon gemacht. Die komponenten mußt Du nun addieren und gucken, ob 0 herauskommt.
Beachte, daß nach Voraussetzung [mm] a_1+a_2=0 [/mm] und [mm] b_1+b_2=0 [/mm] ist.
> 3. kann ich hier einfach mit 1 multiplizieren, oder muss
> ich das allgemein mit r [mm]\in \IR[/mm] zeigen ?
So allgemein, wie ich es im Post gesagt hatte.
Das soll ja "für alle" gelten. Da kann man nicht daher gehen und das nur für 134347384656408774988748921749324879837579574875 Stück zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 11.11.2008 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | | b) [mm] (x_{1})^2 [/mm] + [mm] (x_{2})^2 [/mm] = 0 |
Liege ich hier richtig, dass ich bei 1. V [mm] \not= \emptyset
[/mm]
nur für [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] = 0 zeigen kann ?
bzw. ist 0 = -0 ?
wenn das nicht so ist, könnte ich doch hier aufhören und sagen, dass es keinen Unterraum gibt oder ?
Und mein Unterraum würde ja nur aus [mm] \vektor{ 0 \\ 0} [/mm] bestehen.
darf ich dann schreiben [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} \in \IR^2
[/mm]
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> b) [mm](x_{1})^2[/mm] + [mm](x_{2})^2[/mm] = 0
> Liege ich hier richtig, dass ich bei 1. V [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> nur für [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] = 0 zeigen kann ?
Hallo,
fürs Kriterium 1. spielt das erstmal überhaupt keine Rolle.
Wichtig ist, daß der Nullvektor drin ist, denn es ist [mm] 0^2 [/mm] + [mm] 0^2=0.
[/mm]
Damit ist die Menge (ich nenne sie M) nichtleer - der Nullvektor ist ja drin.
Aber Du hast natürlich recht: es gibt keine anderen Vektoren in der Menge, denn sobald eine Komponente von Null verschieden ist, ist natürlich die Summe der Quadrate größer als Null.
Damit hast Du dann gezeigt, daß [mm] M=\{vektor{0\\0}} [/mm] ist.
Falls Ihr in der Vorlesung noch nicht gezeigt habt, daß da sein Vektorraum ist, machst Du's jetzt.
Zeige die Abgeschlossenheit(en). Das ist sehr einfach - es gibt ja nur den einen Vektor in der Menge. Da kannst Du dann mit diesem konkreten Vektor arbeiten.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Di 11.11.2008 | | Autor: | dupline |
OK, vielen Dank. Ich glaube so langsam versteh ich das Ganze.
Schönen Tag noch!
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