Lineare unabh. d. Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a=(u²; 2; u), b=(9-5u², -8, -4u) und punkt A =(0;3;1)
Aufgabe: Bestimmen sie alle Werte des Parameters u, für die die Vektoren a und b linear unabhängig sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin mir bei dir aufgabe nicht recht sicher wie ich anfangen soll ich habe versucht alle drei vektoren gleich null zu setzen aber komme irgendwie auf keine lösung... ich bin schonmal im vorraus für eure hilfe oder wenigstens einen anstatz dankbar..
mfg
red army
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> a=(u²; 2; u), b=(9-5u², -8, -4u) und punkt A =(0;3;1)
> Aufgabe: Bestimmen sie alle Werte des Parameters u, für
> die die Vektoren a und b linear unabhängig sind.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich bin mir bei dir aufgabe nicht recht sicher wie ich
> anfangen soll ich habe versucht alle drei vektoren gleich
> null zu setzen aber komme irgendwie auf keine lösung... ich
> bin schonmal im vorraus für eure hilfe oder wenigstens
> einen anstatz dankbar..
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Die Ansätze ergeben sich oft aus den Definitionen.
Mach Dir klar, was es bedeutet, wenn zwei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind:
aus [mm] r\vec{a} [/mm] + [mm] s\vec{b} =\vec{0} [/mm] folgt r=s=0.
Oder anders gesagt: wenn [mm] r\vec{a} [/mm] + [mm] s\vec{b} =\vec{0} [/mm] eine von der Lösung r=s=0 verschiedene Lösung hat, sind die Vektoren nicht linear unabhängig.
Folglich ist der Ansatz der, daß Du Dir überlegst, für welche u die Gleichung
[mm] r\vektor{u^2\\2\\u} [/mm] + [mm] s\vektor{9-u^2\\ -8\\ -4u}=\vektor{0\\0\\0} [/mm] nur die eine Lösung r=s=0 hat.
[Da hier offensichtlich keiner der Vektoren der Nullvektor ist und es nur um zwei Vektoren geht, kannst Du Dir die Sache auch noch etwas vereinfachen, indem Du untersuchst, ob einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist.]
Gruß v. Angela
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danke für den ansatz angela...
ich habe jetzt das lineare gleichungssystem gelöst und komme darauf, dass für u ungleich +- 3 die vektoren linear unabhängig sind.
ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet....
mfg
red army
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo RedArmy!
Da habe ich etwas anderes erhalten mit $u \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] 2\wurzel{3}$ [/mm] .
Was hast Du denn wie gerechnet?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Fr 26.06.2009 | | Autor: | RedArmy50 |
meine berechnungen lauten wie folgt:
ich habe nach dem linaere gleichungssystem für r=4s raus und habe das somit dann eigesetzt und für [mm] u=\wurzel{9} [/mm] raus... somit ergibt sich das die vektoren für u ungleich +- 3 linear unabhängig sind... ich prüfe nochmal ob ich mich verrechnet habe...
danke für die berichtigung...
mfg
red army
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Ich hab die 3. Gleichung nach s aufgelöst und bin auf S = 1/4 gekommen. In die erste Gleichung eingesetzt [mm] (ru^2 [/mm] + 9s - [mm] su^2 [/mm] = 0) ergibt das dann u= +- [mm] \wurzel{3} [/mm] , nicht?
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> Ich hab die 3. Gleichung nach s aufgelöst und bin auf S =
> 1/4 gekommen. In die erste Gleichung eingesetzt [mm](ru^2[/mm] + 9s
> - [mm]su^2[/mm] = 0) ergibt das dann u= +- [mm]\wurzel{3}[/mm] , nicht?
Hallo,
wenn man das verfolgen soll, wäre schon gut, Du würdest Deine Gleichungen mal zeigen, damit man sieht, was Du tust.
Mit der dritten Gleichung allein komme ich nicht auf s=1/4, immerhin gibt's da auch noch ein r. (Über u=0 muß man beim Dicidieren auch noch nachdenken)
Gruß v. Angela
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a ( [mm] u^2 [/mm] ; 2 ; u ) ; b [mm] (9-5u^2 [/mm] ; -8 ; -4u)
r [mm] \pmat{ u^2 \\ 2 \\ u } [/mm] + s [mm] \pmat{ 9 - 5u^2 \\ -8 \\ -4u } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
I: [mm] ru^2 [/mm] + 9s - [mm] 5su^2 [/mm] = 0
II: 2r - 8s = 0
III: ru - 4su = 0
Aus III:
s = [mm] \bruch{-ru}{-4u} [/mm] = [mm] \bruch{r}{4}
[/mm]
In II:
2r -8 [mm] (\bruch{r}{4}) [/mm] = 0 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] II und III sind identische Funktionen (II ist Vielfaches von III) und somit linear abhängig.
[mm] \bruch{r}{4} [/mm] in I:
[mm] ru^2 [/mm] + 9 [mm] (\bruch{r}{4}) [/mm] - 5 [mm] (\bruch{r}{4})(u^2) [/mm] = 0
[mm] ru^2 [/mm] - [mm] \bruch{5r}{4} [/mm] * [mm] u^2 [/mm] + [mm] 9(\bruch{r}{4}) [/mm] = 0
[mm] u^2 [/mm] = [mm] \bruch{-9(\bruch{r}{4})}{r - \bruch{5r}{4}}
[/mm]
[mm] u^2 [/mm] = [mm] \bruch{-9(\bruch{r}{4}}{-9 (\bruch{r}{-9} + \bruch{5r}{36}}
[/mm]
Jetzt hab ich mir r/4 vor den Bruch geschrieben
[mm] u^2 [/mm] = [mm] \bruch{r}{4} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\bruch{-r}{9} + \bruch{5r}{36}}
[/mm]
Jetzt erweitere ich den ersten Bruch im zweiten bruch auf 36tel (-4r/36) und vereinfache ihn.
[mm] u^2 [/mm] = [mm] \bruch{r}{4} [/mm] * [mm] \bruch{36}{-4r + 5r} [/mm] = 36r/4r = 9
u = +-3
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Ergebnis stimmt.
Allerdings wird es sehr viel einfacher, wenn man Angelas ersten Tipp benutzt, d.h. bei zwei Vektoren kann man sich die Rechnung vereinfachen, weil zwei Vektoren genau dann linear abhängig sind, wenn einer das Vielfache des anderen ist.
Da in der zweiten Komponente kein u vorkommt, kann man diesen Faktor direkt nennen, sieht dann, dass es in der 3. Komponente stimmt, setzt es in die erste Komponente ein und bekommt dort die simple quadratische Gleichung [mm] -4u^2 [/mm] = [mm] 9-5u^2, [/mm] deren Lösungen [mm] \pm [/mm] 3 sind.
Also sind für [mm] u=\pm [/mm] 3 die beiden Vektoren linear abhängig, für alle anderen linear unabhängig.
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> danke für den ansatz
>
> ich habe jetzt das lineare gleichungssystem gelöst und
> komme darauf, dass für u ungleich +- 3 die vektoren linear
> unabhängig sind.
Hallo,
ich habe Dein Ergebnis, unngelad wenn man [mm] \pm3 [/mm] einsetzt, dann sieht man ja auch, daß die in diesem Fall abhängig sind.
> ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet....
Ich auch. Im Moment jedenfalls sind wir die Mehrheit.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Sa 27.06.2009 | | Autor: | RedArmy50 |
ja auf diesen term komme ich auch scheint auch richtig zu sein... danke euch allen vielmals... ich denke wir sind auf die richtige lösung gekommen
mfg
red army
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