Linearer Integraloperator < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mi 31.08.2011 | | Autor: | infra |
| Aufgabe | Gegegeben ist ein linearer Integraloperator
K: C([a,b]) [mm] \to [/mm] C([a,b])
mit
[mm] K{f}(s)=\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}
[/mm]
Zeige das K bezüglich der Maximumsnorm beschränkt ist. |
Ich bin noch ganz am Anfang der Aufgabe, mein Ansatz:
[mm] $\left|\left|K\right|\right|=\sup_{\left|\left|f\right|\right|=1}\left|\left|Kf\right|\right|\le \max_{\left|\left|f\right|\right|=1}\integral_{a}^{b}{\left|k(s,t)\right\left|f(t)\right| dt}$
[/mm]
Denn zweiten Teil müsste ich nun so umformen, das dort
die Maximumsnorm steht.
Nur leider weiß ich nicht wie, vielleicht kann ja jemand helfen.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Do 01.09.2011 | | Autor: | strangelet |
Hallo, weiss man etwas über die funktion [mm]k(s,t)[/mm]?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Do 01.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Gegegeben ist ein linearer Integraloperator
> K: C([a,b]) [mm]\to[/mm] C([a,b])
> mit
> [mm]K{f}(s)=\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}[/mm]
>
> Zeige das K bezüglich der Maximumsnorm beschränkt ist.
> Ich bin noch ganz am Anfang der Aufgabe, mein Ansatz:
>
> [mm]\left|\left|K\right|\right|=\sup_{\left|\left|f\right|\right|=1}\left|\left|Kf\right|\right|\le \max_{\left|\left|f\right|\right|=1}\integral_{a}^{b}{\left|k(s,t)\right\left|f(t)\right| dt}[/mm]
>
> Denn zweiten Teil müsste ich nun so umformen, das dort
> die Maximumsnorm steht.
> Nur leider weiß ich nicht wie, vielleicht kann ja jemand
> helfen.
Fanng doch mal damit an, die Bedingung [mm] $\|f\|=1$ [/mm] zu verarbeiten. Die Bedingung bedeutet ja, das
(*) [mm]\sup_{x\in[a,b]} |f(x)| = 1 [/mm]
gilt. Nun versuche damit, das Integral
[mm]\left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| [/mm]
abzuschätzen. Zunächst ist ja
[mm] \left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|*|f(t)| dt [/mm] .
Wie kannst du hier (*) ausnutzen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 01.09.2011 | | Autor: | infra |
Wenn ich die richtig verstehe, spielst du wahrscheinlich
auf folgende abschätzung eines integrals mit supremum an:
$ [mm] \left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}|f(t)| [/mm] dt [mm] \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}\sup_{t\in[a,b]} |f(t)|dt=\integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt$ [/mm]
bedeutet das der operator bezüglich dem integral über
die kernfunktion beschränkt ist.
aber entspricht das der maximumsnorm?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 Do 01.09.2011 | | Autor: | infra |
die Kernfunktion erfüllt folgende Ungleichung:
[mm] $\left|k(s,t)\right| \le c\left|s-t\right| [/mm] ^{-a}$
es gilt weiterhin:
[mm] $a\in[0,1)$ [/mm] und $c>0$
$k(s,t)$ist dementsprechend auch beschränkt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 02.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich die richtig verstehe, spielst du wahrscheinlich
> auf folgende abschätzung eines integrals mit supremum
> an:
> [mm]\left|\integral_{a}^{b}{k(s,t)f(t) dt}\right| \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}|f(t)| dt \le \integral_{a}^{b}|k(s,t)|\cdot{}\sup_{t\in[a,b]} |f(t)|dt=\integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt[/mm]
> bedeutet das der operator bezüglich dem integral über
> die kernfunktion beschränkt ist.
> aber entspricht das der maximumsnorm?
Nein, aber die Frage war ja nicht, was [mm] $\|K\|$ [/mm] ist, sondern nach der Beschränktheit. Schreib dir die vollständige Ungleichungskette auf:
[mm] \|K\| = \sup_{\|f\|=1} \|Kf\| = \sup_{\|f\|=1} \sup_{s\in[a,b]} \left \integral_a^b k(s,t) f(t) dt \le \sup_{s\in[a,b]} \integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt [/mm].
Da $k(s,t)$ beschränkt ist, also $|k(s,t)| [mm] \le [/mm] C$, ist
[mm] \sup_{s\in[a,b]} \integral_{a}^{b}|k(s,t)|dt \le C(b-a) [/mm]
und damit $ [mm] \|K\| \le [/mm] C(b-a)$.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Fr 02.09.2011 | | Autor: | infra |
Ok, die Herleitungs hab ich tatsächlich mal verstanden ;)
Vielen Dank.
Nur fehlt mir ehrlich gesagt ein bisschen eine Vorstellung,
was der Begriff Maximumsnorm bedeutet.
Geht es dabei um die größtmögliche Norm der
Kernfunktion, oder die allgemeine Abschätzung der Norm des Operators?
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