Linearer Raum (Vektorraum) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:38 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Für reelle Funktionen f,g und [mm] \alpha \in \IR [/mm] sind Summe und Skalarenmultiplikation definiert durch
(f+g)(x) := f(x) + g(x) (x [mm] \in [/mm] D(f) [mm] \cap [/mm] D(g))
[mm] (\alpha [/mm] f)(x) := [mm] \alpha [/mm] f(x) (x [mm] \in [/mm] D(f))
Sei Abb := {f|f reelle Funktion}
und für D [mm] \subset \IR
[/mm]
Abb(D) := {f|f reelle Funktion, D(f) = D}
Man zeige: Mit oben definierter Addition und Skalarenmultiplikation ist für
D [mm] \subset \IR
[/mm]
(1) Abb(D) ein linearer Raum über [mm] \IR
[/mm]
(2) Abb kein linearer Raum |
Also, zunächst einmal ist klar, ich muss zeigen, dass für (1) die Vektorraumaxiome bezüglich Addition und Multiplikation erfüllt sind, bzw. dass sie für (2) nicht erfüllt sind.
Meine erste Frage ist:
Was genau sagt mir diese Eigenschaft:
Abb(D) := {f|f reelle Funktion, D(f) = D}
D bezeichnet doch den Definitionsbereich. Heißt das also, der Definitionsbereich der Funktion f ist gleich dem gesamten Definitionsbereich?
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Hallo,
> Für reelle Funktionen f,g und [mm]\alpha \in \IR[/mm] sind Summe
> und Skalarenmultiplikation definiert durch
>
> (f+g)(x) := f(x) + g(x) (x [mm]\in[/mm] D(f) [mm]\cap[/mm] D(g))
>
> [mm](\alpha[/mm] f)(x) := [mm]\alpha[/mm] f(x) (x [mm]\in[/mm] D(f))
>
> Sei Abb := {f|f reelle Funktion}
> und für D [mm]\subset \IR[/mm]
> Abb(D) := {f|f reelle Funktion,
> D(f) = D}
>
> Man zeige: Mit oben definierter Addition und
> Skalarenmultiplikation ist für
> D [mm]\subset \IR[/mm]
>
> (1) Abb(D) ein linearer Raum über [mm]\IR[/mm]
>
> (2) Abb kein linearer Raum
> Also, zunächst einmal ist klar, ich muss zeigen, dass
> für (1) die Vektorraumaxiome bezüglich Addition und
> Multiplikation erfüllt sind, bzw. dass sie für (2) nicht
> erfüllt sind.
>
> Meine erste Frage ist:
> Was genau sagt mir diese Eigenschaft:
> Abb(D) := {f|f reelle Funktion, D(f) = D}
>
> D bezeichnet doch den Definitionsbereich. Heißt das also,
> der Definitionsbereich der Funktion f ist gleich dem
> gesamten Definitionsbereich?
Ich verstehe das so: Zu Abb gehört jede reelle Funktion mit irgendeinem Definitionsbeeich. Insbesondere kann dann der Definitionsbereich der Summe f(x)+g(x) leer sein. Abb(D) hingegen bezieht sich auf alle reellen Funktionen, die (mindestens) D als Definitionsbereich haben, so dass dieses Malheur damit behoben wäre. Hilft dir das eventuell schon weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Dann wär schon mal klar, warum (2) kein linearer Raum ist, denn für die leere Schnittmenge ist die Summe nicht mehr gültig:
Wenn die Schnittmenge des Definitionsbereichs die leere Menge ist, ist auch (f + g)(x) leer.
Aber f(x) + g(x) kann durchaus Elemente enthalten, da die einzelnen Definitionsbereiche nicht leer sind.
Bei (1) ist mit D(f) = D aber doch nur vom Definitionsbereich für f die Rede, oder?
Das heißt, auch hier könnte doch die Schnittmenge von D(f) und D(g) leer sein, oder täusche ich mich da?
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Hallo,
> Dann wär schon mal klar, warum (2) kein linearer Raum ist,
> denn für die leere Schnittmenge ist die Summe nicht mehr
> gültig:
> Wenn die Schnittmenge des Definitionsbereichs die leere
> Menge ist, ist auch (f + g)(x) leer.
> Aber f(x) + g(x) kann durchaus Elemente enthalten, da die
> einzelnen Definitionsbereiche nicht leer sind.
Nein, das ergibt keinen Sinn. Es ist (f+g)(x) doch jr eine andere Schreibweise für f(x)+g(x).
> Bei (1) ist mit D(f) = D aber doch nur vom
> Definitionsbereich für f die Rede, oder?
> Das heißt, auch hier könnte doch die Schnittmenge von
> D(f) und D(g) leer sein, oder täusche ich mich da?
Ich verstehe deine Frage nicht ganz, bzw. ich sehe nicht so ganz, wo deine Verständnisprobleme losgehen. Der Unterschied zwischen Abb und Abb(D) ist der folgende: In Abb liegen alle reellen Funktionen, in Abb(D) nur diejenigen, die auf D definiert sind. Damit ist die Existenz von (f+g)(x) gesichert, das ist der Punkt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mo 30.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Hmmm....vlt. hab ich da die Definition falsch verstanden.
Meine überlegung war:
wenn ich (f+g)(x) habe, dass heißt die Summenfunktion, kann ich da ja nur Werte abbilden, die aus der Schnittmenge des Definitionsbereichs beider Funktionen stammen.
Wenn ich aber habe f(x) + g(x) muss die Schnittmenge keine Elemente enthalten, denn ich wende ja die Abbildungen f und g einzeln an, und summiere nur die "Ergebnisse"
Oder stimmt das so nicht?
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Hallo,
> Hmmm....vlt. hab ich da die Definition falsch verstanden.
>
> Meine überlegung war:
> wenn ich (f+g)(x) habe, dass heißt die Summenfunktion,
> kann ich da ja nur Werte abbilden, die aus der Schnittmenge
> des Definitionsbereichs beider Funktionen stammen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich aber habe f(x) + g(x) muss die Schnittmenge keine
> Elemente enthalten, denn ich wende ja die Abbildungen f und
> g einzeln an, und summiere nur die "Ergebnisse"
Du musst klar unterscheiden und hier mal deutlich machen, ob du nun vom Definitions- oder vom Wertebereich sprichst ...
In die Funktion [mm]f+g[/mm] kannst du nur solche [mm]x[/mm] stopfen, die sowohl im Definitionsbereich von f als auch im Definitionsbereich von g liegen.
Dieser Schnitt kann leer sein oder auch nicht.
Also [mm]f+g:D(f)\cap D(g)\to\IR, x\mapsto (f+g)(x)=f(x)+g(x)[/mm]
An dieser punktweisen Definition sieht man genau, dass man die x, die man in [mm]f+g[/mm] stopfen kann, in f stopfen können muss und auch in g ...
Du wertest [mm](f+g)(x)[/mm] für ein konkretes [mm]x\in D(f)\cap D(g)[/mm] aus, indem du [mm]f(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] auswertest und addierst.
Ich denke, so meintest du das, oder?
>
> Oder stimmt das so nicht?
Ich denke, dass du das richtig meinst ...
Gruß
schachuzipus
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