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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Mi 21.12.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | | Sei W [mm] \subset \IQ^{4} [/mm] der Lösungsraum des linearen homogenen Gleichungssystems AX=0 mit der Matrix A:= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 0}. [/mm] Man finde eine Basis von W und berechne dimW. |
Nun :
X= [mm] \vektor{x \\ y \\ z \\ w}
[/mm]
Matrix A auf Zeilenstufenform bringen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 & -3}
[/mm]
Wie löse ich jetzt das GLeichungssystem?
Ich verstehe nicht ganz, welche Variablen man frei wählen darf und welche nicht und wie man es auflösen muss nach x,y,z,w...
Danach sollte man ja eine Gleichung mit 2 Parametern und 2 Vektoren bekommen, welche dann die Basis darstellen, oder?
Und wie rechnet man dann die Dimension aus? Gibt es eine Formel?
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte. Danke:) lg
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> Sei W [mm]\subset \IQ^{4}[/mm] der Lösungsraum des linearen
> homogenen Gleichungssystems AX=0 mit der Matrix A:= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 3 & 0}.[/mm]
> Man finde eine Basis von W und berechne dimW.
> Nun :
> X= [mm]\vektor{x \\
y \\
z \\
w}[/mm]
>
> Matrix A auf Zeilenstufenform bringen:
>
> [mm]\pmat{ \red{1} & 0 & -1 & 3 \\
0 & \red{1} & 4 & -3}[/mm]
>
> Wie löse ich jetzt das GLeichungssystem?
> Ich verstehe nicht ganz, welche Variablen man frei wählen
> darf und welche nicht und wie man es auflösen muss nach
> x,y,z,w...
Hallo,
die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in der 1. und 2. Spalte.
Dann darfst Du die 3. und 4. variable frei wählen, also z und w.
Mit
z:=s
w:=t
bekommst Du aus Zeile 2
y=-4z+3w=-4s+3t
aus Zeile 1
x=z-3w=s-3t.
Also haben die Lösungsvektoren die gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z\\w}=\vektor{s-3t\\-4s+3t\\s\\t}
[/mm]
[mm] =s*\vektor{...\\...\\...\\...}+t*\vektor{...\\...\\...\\\...}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> Danach sollte man ja eine Gleichung mit 2 Parametern und 2
> Vektoren bekommen, welche dann die Basis darstellen, oder?
> Und wie rechnet man dann die Dimension aus? Gibt es eine
> Formel?
>
> Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte. Danke:) lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Mi 21.12.2011 | | Autor: | unibasel |
Super!! Herzlichen Dank :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 21.12.2011 | | Autor: | unibasel |
Und die Dimension? Wie berechne ich diese? :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Mi 21.12.2011 | | Autor: | unibasel |
Hätte jetzt gesagt, es wäre 2-dimensional wegen 2 Parametern...
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> Und die Dimension? Wie berechne ich diese? :)
Och.
Nun behalte einen kühlen Kopf.
Wieviele vektoren brauchst Du, um die Lösungsmenge zu erzeugen?
Und jetzt guck sie an: sie sind offensichtlich linear unabhängig. Also?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Mi 21.12.2011 | | Autor: | unibasel |
hehe eben 2 ;) das heisst 2-dimensional.
Wunderbar dankeschön :)
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