Lineares Gleichungssystem < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Di 15.12.2015 | | Autor: | JennMaus |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes Gleichungssystem:
H(x,y,u,z) = 0
M(x,y,u,z) = 0
Nehmen Sie an, dass diesess Gleichungssystem in Punkt (x*,y*,u*,z*) erüllt ist. Wann existieren keine Funktionen x und y in u und z, nämlich x(u,z) und y(u,z) für das gegebene Gleichungssystem in der unmittelbaren Nähe von (x*,y*,u*,z*)?
a) wenn [mm] H_{y} [/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0
b) wenn [mm] H_{y} [/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0 und [mm] M_{x} [/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0
c) wenn [mm] H_{y} [/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0 und [mm] M_{y} [/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0
d) a) b) und c) sind falsch |
Kann mir jemand erklären, was mit den Matrizen [mm] H_{y} M_{y} [/mm] gemeint ist und wie man auf die richtige Lösung kommt? Der Punkt (x*,y*,u*,z*) ist eine Lösung des obigen Gleichungssystems, mehr habe ich leider nicht verstanden, weshalb ich mit der Aufgabe leider nur wenig anfangen kann.
Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen... vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 15.12.2015 | | Autor: | fred97 |
Tipp: Satz über implizit definierte Funktionen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 15.12.2015 | | Autor: | JennMaus |
In meinem Mathebuch steht dazu etwas über partielle Ableitungen, etc. Kann das sein? Denn ich weiß doch im Grunde gar nichts über die Funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mi 16.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
schon dass du von linearen GS redest und Matrix, zeigt, dass du nicht verstanden hast, dass H und M irgendwelche (differenzierteren) Funktionen sind. [mm] H_x [/mm] ist die partielle Ableitung nach x entsprechend [mm] M_y [/mm] usw.
sieh den satz über implizite Funktionen nach!
Gruß ledum
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Okay, danke.
Ja, das habe ich nicht verstanden, daher hatte ich es ja auch in meinem ersten Beitrag gefragt, was diese Matrizen bedeuten.
Nach dem Satz der impliziten Funktionen, darf die partielle Ableitung nach y nicht 0 sein, damit y an diesem Punkt implizit definiert ist.
Somit wäre doch dann die Lösung c falsch, oder?
Denn nach ihr sind beide Matrizen abgeleitet nach y = 0.
Oder habe ich es mir da (mal wieder) zu einfach gemacht?
Bzw. existiert dann nicht noch die x-Funtktion?
Vermutlich sind dann alle Lösungen falsch (also Antwort d)
Denn bei a) existieren ja womöglich Funktionen mit [mm] H_{x} [/mm] oder [mm] M_{y} [/mm] oder [mm] M_{x}
[/mm]
Bei b) könnten noch die [mm] H_{x} [/mm] oder [mm] M_{y} [/mm] ungleich 0 sein
und bei c existiert zwar die Funktion y nicht, aber die Funktion x könnte noch existieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 18.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mi 16.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie folgendes Gleichungssystem:
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> H(x,y,u,z) = 0
> M(x,y,u,z) = 0
>
> Nehmen Sie an, dass diesess Gleichungssystem in Punkt
> (x*,y*,u*,z*) erüllt ist. Wann existieren keine Funktionen
> x und y in u und z, nämlich x(u,z) und y(u,z) für das
> gegebene Gleichungssystem in der unmittelbaren Nähe von
> (x*,y*,u*,z*)?
>
> a) wenn [mm]H_{y}[/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0
> b) wenn [mm]H_{y}[/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0 und [mm]M_{x}[/mm] (x*,y*,u*,z*) =
> 0
> c) wenn [mm]H_{y}[/mm] (x*,y*,u*,z*) = 0 und [mm]M_{y}[/mm] (x*,y*,u*,z*) =
> 0
> d) a) b) und c) sind falsch
>
> Kann mir jemand erklären, was mit den Matrizen [mm]H_{y} M_{y}[/mm]
> gemeint ist und wie man auf die richtige Lösung kommt? Der
> Punkt (x*,y*,u*,z*) ist eine Lösung des obigen
> Gleichungssystems, mehr habe ich leider nicht verstanden,
> weshalb ich mit der Aufgabe leider nur wenig anfangen
> kann.
>
> Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen... vielen Dank!
>
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Ich möchte mal versuchen klarzustellen worum es geht.
Dazu sei D eine offene Teilmenge des [mm] \IR^4 [/mm] und F:D [mm] \to \IR^2 [/mm] eine stetig differenzierbare Funktion. Es ist also
$F(x,y,u,z)= (H(x,y,u,z),M(x,y,u,z))$
mit reellwertigen Funktionen H und M.
Weiter sei w*=(x*,y*,u*,z*) [mm] \in [/mm] D mit F(w*)=0.
Nun stellt sich die Frage: wann gibt es eine Umgebung U [mm] \subset \IR^2 [/mm] von (u*,z*) und Funktionen X,Y:U [mm] \to \IR [/mm] mit
(1) F(X(u,z),Y(u,z),u,z)=0 für alle (u,z) [mm] \in [/mm] U
und
(2) X(u*,z*)=x* und Y(u*,z*)=y* ?
Der Satz über implizit def. Funktionen sagt nun, dass die Antwort auf obige Frage positiv ausfällt, wenn die Matrix
(3) [mm] \pmat{ H_x(w^{\star}) & H_y(w^{\star}) \\ M_x(w^{\star}) & M_y(w^{\star}) }
[/mm]
invertierbar ist.
Wenn ich nun die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, so wird dort gefragt, wann die Anzwort auf obige Frage negativ ausfällt.
Stellen wir uns vor, es wäre
F((x,y,u,z) = 0 für alle (x,y,u,z) [mm] \in \IR^4
[/mm]
und w*=(0,0,0,0).
Wählt man (mit den Bezeichnungen von oben) [mm] U=\IR^2 [/mm] und für X und Y die Nullfunktionen, so gelten (1) und(2).
Die Matrix in (3) ist aber die Nullmatrix !!!
Kurz: die Aufgabenstellung ist Quatsch !
FRED
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