Lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die in Abbildung 1.2 Dargestellte Kurve y = ax² + bx + c verläuft durch die Punkte [mm] (x_{1} [/mm] ; [mm] y_{1}) [/mm] ; [mm] (x_{2} [/mm] ; [mm] y_{2}) [/mm] und [mm] (x_{3} [/mm] ; [mm] y_{3}). [/mm] Man zeige, dass die Koeffizienten a, b und c das durch die folgende Matrix dargestellte lineare Gleichungssystem lösen.
[mm] \pmat{ x²_{1} & x_{1} & 1 & y_{1} \\ x²_{2} & x_{2} & 1 & y_{2} \\ x³_{3} & x_{3} & 1 & y_{3}}
[/mm]
Die Abbildung besteht aus einer nach oben geöffneten beliebigen parabel mit drei punkten eingezeichnet: [mm] (x_{1} [/mm] ; [mm] y_{1}) [/mm] ; [mm] (x_{2} [/mm] ; [mm] y_{2}) [/mm] und [mm] (x_{3} [/mm] ; [mm] y_{3}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute, tolles Forum!!!
Hab mir überlegt die Matrix mit Gauss aufzulösen, bringt aber nichts, weil ich ja zeigen muss dass die koeffizienten a, b und c die Matrix lösen...
ich komm einfach nich weiter, waere dankbar für eure Hilfe!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Mo 25.06.2007 | | Autor: | uwe-b |
Hallo,
du weißt ja, dass die Kurve [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] durch die Punkte [mm] (x_1;y_1), (x_2;y_2) [/mm] und [mm] (x_3,y_3) [/mm] geht.
Also stellt man die 3 Gleichungen auf, die ich dadurch erhalte:
[mm] y_1 [/mm] = [mm] ax_1^2 [/mm] + [mm] bx_1 [/mm] + c
[mm] y_2 [/mm] = [mm] ax_2^2 [/mm] + [mm] bx_2 [/mm] + c
[mm] y_3 [/mm] = [mm] ax_3^2 [/mm] + [mm] bx_3 [/mm] + c
-->
[mm] x_1^2 [/mm] a + [mm] x_1 [/mm] b + 1 [mm] \cdot [/mm] c [mm] =y_1
[/mm]
[mm] x_2^2 [/mm] a + [mm] x_2 [/mm] b + 1 [mm] \cdot [/mm] c [mm] =y_2
[/mm]
[mm] x_3^2 [/mm] a + [mm] x_3 [/mm] b + 1 [mm] \cdot [/mm] c [mm] =y_3
[/mm]
Und in Matrizenschreibweise:
[mm] \pmat{ x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 } \cdot \vektor{a \\ b \\ c} [/mm] = [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\ y_3}
[/mm]
Dies ist folgendes Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ x_1^2 & x_1 & 1 & y_1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 & y_2 \\ x_3^2 & x_3 & 1 &y_3 }
[/mm]
|
|
|
| |
|
Ja, das war mir schon klar...
nur wie zeige ich das a, b und c das lineare Gleichungssystem Lösen?
Oder ist das dadurch schon gezeigt? wenn ja warum? Matrizen stellt man doch in der Regel mit den Koeffizienten auf und nicht mit den variablen...
danke für deiner Antwort!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mo 25.06.2007 | | Autor: | uwe-b |
Man hat doch
[mm] \pmat{ x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 } \cdot \vektor{a \\ b \\c} [/mm] = [mm] \vektor{y_1 \\ y_2 \\y_3}
[/mm]
Also der Form Ax = b
Gesucht ist x. Um dies zu bekommen, löst das Gleichungssytem, wie es unten angegeben ist.
|
|
|
|
