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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Lineares Gleichungssystem
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Lineares Gleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Mi 20.02.2008
Autor: Excel

Aufgabe
Hallo zusammen,
ich hab hier ne Aufgabe, wo ich gedacht habe man kann die mithilfe der Cramersche Regel lösen. Aber ich krieg immer ne Komische Kommerzahl heraus.
Bitte helft mir.

Die Aufgabe:

[mm] x_1+2x_2-x_3+x_4=63 [/mm]
[mm] 5x_1+15x_2+15x_3+5x_4=0 [/mm]
[mm] 4x_1+8x_2-4x_3+5x_4=241 [/mm]
[mm] 3x_1+6x_2-2x_3+7x_4=124 [/mm]

Kann man die Gleichung überhaupt mit der Cramerschen Regel lösen??

        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Mi 20.02.2008
Autor: angela.h.b.


> Hallo zusammen,
>  ich hab hier ne Aufgabe, wo ich gedacht habe man kann die
> mithilfe der Cramersche Regel lösen. Aber ich krieg immer
> ne Komische Kommerzahl heraus.
>  Bitte helft mir.
>  Die Aufgabe:
>  
> [mm]x_1+2x_2-x_3+x_4=63[/mm]
>  [mm]5x_1+15x_2+15x_3+5x_4=0[/mm]
>  [mm]4x_1+8x_2-4x_3+5x_4=241[/mm]
>  [mm]3x_1+6x_2-2x_3+7x_4=124[/mm]
>  
> Kann man die Gleichung überhaupt mit der Cramerschen Regel
> lösen??

Hallo,

ich sehe keine Grund, warum man das nicht mit Cramer lösen können sollte - allerdings ist es etwas unpraktisch, oder? Da muß man doch lauter Determinanten ausrechnen.

Eine "komische Kommazahl" macht eigentlich nichts. Welche Kommazahl ist nicht komisch?

Allerdings: das Ergebnis dieser Aufgabe ist glatt, daher ist Deine Kommazahl ein Hinweis auf einen Fehler.

Am besten rechnest Du mal vor, was Du getan hast, damit wir sehen, was Du falsch machst.

Gruß v. Angela


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Lineares Gleichungssystem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Mi 20.02.2008
Autor: hasso

hallo,

Nur mal so ne Anmerkung gilt die Cramsche Regel nicht nur für 3x3 Gleichungssysteme ? bin mir nicht ganz sicher......



gruß hasso

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Lineares Gleichungssystem: Das geht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Mi 20.02.2008
Autor: angela.h.b.

  
> Nur mal so ne Anmerkung gilt die Cramsche Regel nicht nur
> für 3x3 Gleichungssysteme ?

Hallo,

nein, die kann man für Lineare Gleichungssysteme beliebiger Größe verwenden, vorausgesetzt, die Determinante der Koeffizientenmatrix des GS ist nicht =0.

Allerdings: diese Regel zum Berechnen  größerer Systeme zu verwenden, ist recht unerfreulich, denn man hat ja lauter Determinanten zu berechnen, und ab 3x3 wird das recht unbequem.

Also: es geht - aber es gibt bessere Möglichkeiten.

Gruß v. Angela

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Lineares Gleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mi 20.02.2008
Autor: Excel

So hab ich begonnen:

[mm] D=\pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 15 & 15 &5 \\ 4 & 8 & -4 & 5 \\3 & 6 & -2 & 7} [/mm]
= 110

[mm] D_1= \pmat{ 63 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 15 & 15 &5 \\ 241 & 8 & -4 & 5 \\124 & 6 & -2 & 7}= [/mm] 2895

Dann hab ich [mm] D/D_1= [/mm] 2895/110= 26,318...

und weiter hab ich nicht mehr gerechnet, weil ich dachte, dass das keine kommazahl rauskommt.

gibts da ne leichtere Lösung??



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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Mi 20.02.2008
Autor: angela.h.b.


> So hab ich begonnen:
>  
> [mm]D=\pmat{ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 15 & 15 &5 \\ 4 & 8 & -4 & 5 \\3 & 6 & -2 & 7}[/mm]
>  
> = 110
>  
> [mm]D_1= \pmat{ 63 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 15 & 15 &5 \\ 241 & 8 & -4 & 5 \\124 & 6 & -2 & 7}=[/mm]
> 2895
>  
> Dann hab ich [mm]D/D_1=[/mm] 2895/110= 26,318...

Aha.

Du hast die Determinanten verkehrt ausgerechnet.

Wie hast Du die denn berechnet?

Gruß v. Angela

Bezug
                                
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Lineares Gleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Mi 20.02.2008
Autor: Excel

[mm] D_1= \pmat{ 63 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 15 & 15 &5 \\ 241 & 8 & -4 & 5 \\124 & 6 & -2 & 7}= [/mm] 63*15*(-4)*7+2*15*5*124+(-1)*5*241*6+1*0*8*(-2)-124*8*15*1-(6*(-4)*5*63)-(-2)*5*0*2-7*241*15*(-1)=2895

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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Mi 20.02.2008
Autor: steppenhahn

Die Sarrus-Regel, die du anscheinend angewandt hast, gilt nur für 3x3-Matrizen!
Wenn du die Determinante einer 4x4-Matrix berechnen willst, wirst du um Entwickeln bzw. Matrix in Zeilenstufenform bringen nicht herumkommen!
Und genau da liegt das "Problem": Die Koeffizienten-Matrix in Zeilenstufenform zu bringen ist ja schon die halbe Lösung des Gleichungssystems - wieso also erst noch ewig mit Determinanten rechnen?

Ich würde dieses LGS mit einfachem Umformen lösen.

Bezug
                                                
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Lineares Gleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mi 20.02.2008
Autor: Excel

Das hab ich schon probiert, krieg das aber nicht hin. Sitze schon seit 3 std dran.

Bezug
                                                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Mi 20.02.2008
Autor: Kroni

Hi,

poste uns doch mal deine Rechnung, dann können wir dir sagen, wo dein Fehler ist.

LG

Kroni

Bezug
                                                                
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Mi 20.02.2008
Autor: Excel

Aufgabe
Hier meine Rechnung:

[mm] x_1+2x_2-x_3+x_4=63 [/mm]
[mm] 5x_1+15x_2+15x_3+5x_4=0 [/mm]
[mm] 4x_1+8x_2-4x_3+5x_4=124 [/mm]
[mm] 3x_1+6x_2-2x_3+7x_4=124 [/mm]

[mm] =D=\vmat{ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 15 & 15 & 5 \\ 4 & 8 & -4 & 5 \\ 3 & 6 & -2 &7 } [/mm]
= 1*15*(-4)*7+2*15*5*3+(-1)*5*4*6+1*5*8*(-2)-(3*8*15*1)-(6*(-4)*5*1)-((-2)*5*5*2)-(7*4*15*(-1))
=-420+450-120-80-360+120+100+420=110

[mm] D_1=\vmat{ 63 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 15 & 15 & 5 \\ 241 & 8 & -4 & 5 \\ 124 & 6 & -2 &7 } [/mm]
= 63*15*(-4)*7+2*15*5*124+(-1)*5*241*6+0-124*8*15*1-6*(-4)*5*63-0-7*241*15*(-1)
=-26460+18600-7230-14880+7560-0+25303= 2895

So hab ich gerechnet.


Bezug
                                                                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Mi 20.02.2008
Autor: leduart

Hallo
noch ein letztes mal: So kann man Det, nur von [mm] 3\times [/mm] 3 matrices ausrechnen.
Und das zweite nochmal: Niemand rechnet so schreckliche Determinanten aus, wenn nicht sehr viele Nullen in einer Zeile oder Spalte sind.
Da macht man immer Fehler.
Kümmer dich wirklich darum das Gaussverfahren zu lernen!
Gruss leduart

Bezug
                                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Mi 20.02.2008
Autor: weduwe

da du dich excel nennst


[a][Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]

Bezug
                                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:17 Mi 20.02.2008
Autor: weduwe

da du dich excel nennst


[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:25 Mi 20.02.2008
Autor: Excel

und wie bist du auf die -5 gekommen??
Ich hab das schon das 4te mal nachgerechnet und komme immer auf 110

Bezug
                                                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:36 Mi 20.02.2008
Autor: angela.h.b.


> und wie bist du auf die -5 gekommen??
> Ich hab das schon das 4te mal nachgerechnet und komme immer
> auf 110

Hallo,

weder die Angabe, wie oft Du probiert hast, noch das Wissen, wie lange Du Dich mit der Aufgabe beschäftigt hast, bringt uns und Dich weiter.

Daß Du immer 110 herausbekommst, liegt daran, daß Du jedesmal auf dieselbe Art falsch rechnest.

Es hat Dir doch bereits einer meiner Vorredner gesagt, daß die Sarrus-Regel (die Sache mit dem Diagonalschema) nur für 3x3-Matrizen geht.

Du mußt Dich also informieren über  die Berechnung von Determinanten, Stichwort: Laplace-Entwicklung.

Noch zum Gleichungssystem: Du kannst z.B. MBGauß-Algorithmushier nachlesen, wie der Gauß-Algorithmus funktioniert. Es handelt sich hierbei um das  Additionsverfahren, welches man aus der Schule kennt, und welches hier systematisch durchgeführt wird.

Du schreibst nichts über Deinen Hintergrund. Falls Du bereits auf der Uni/FH bist, mußt Du den Gaußalgorithmus im Matrixschema können bzw. lernen. Man spart viel Zeit damit.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Gauß!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Mi 20.02.2008
Autor: Zwerglein

Hi, Excel,

Bei einem LGS mit 4 (oder auch mehr) Unbekannten erscheint mir das Gauß-Verfahren der Cramerschen Regel um Längen überlegen!

mfG!
Zwerglein

Bezug
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