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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 So 21.12.2008 | | Autor: | Schorschl |
| Aufgabe | | [mm]
\begin{matrix}
2x_{1} + 4x_{2} + 2x_{3} = 12t \\
2x_{1} + 12x_{2} + 7x_{3} = 12t + 7 \\
1x_{1} + 10x_{2} +6x_{3} = 7t + 8
\end{matrix}
[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Is ne Übungsaufgabe und die Lösung soll in Abhängigkeit von t berechnet werden.
Nur komm ich mit dem Gauß-Verfahren auf keinen grünen Zweig (bzw. ich habs doch nicht so ganz begriffen)
Ich hab schon mehrere Versuche unternommen in Gleichungen (2) und (3) jeweils [mm] x_{1} [/mm] zu eliminieren, doch ergibt sich immer folgendes Problem:
Zeilen (2)´ und (3)´ (also die die sich dann ergeben) sind bis auf das Ergebnis, haben gleiche Koeffizienten, bzw. sind Vielfache voneinander.
Das wäre zwar toll wenn ich t berechen sollte, aber das ist ja nicht der Fall...
Wäre dankbar, wenn ihr mir helfen könntet (oder ist es so, dass mir die Tatsache, dass ich mit (2)´ und (3)´ t berechnen kann irgendwie weiterhilft?)
Vielen Dank schonmal im vorraus
Schorschl
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
rechne einfach mal vor, wie weit Du kommst.
Wenn wir Deine Ergebnisse vor Augen haben, können wir sie besprechen. das ist besser als ins Blaue.
Was Du schreibst, klingt nicht so, als würdest Du etwas falsch machen, mich dünkt, es hängt an der Interpretation.
Gruß v. Angela
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Ich lasse also Gleichung (1) in Ruhe und eliminiere in (2) und (3) das [mm] x_{1} [/mm] so:
(2)´ = (2) - (1) = [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 7
(3)´ = 2*(3) - (2) = [mm] 8x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 2t + 9
Jetzt muss ich doch aber in (3)´ das [mm] x_{2} [/mm] wegbringen.
Wenn ich jetzt aber (3)´ - (2)´ rechne fällt [mm] x_{3} [/mm] ja auch weg und das bräuchte ich doch, um das Ergebnis von [mm] x_{3} [/mm] in den anderen Gleichungen einsetzen zu können und so die restlichen Variablen raus zu bekommen, oder?
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Hallo Schorschl,
> Ich lasse also Gleichung (1) in Ruhe und eliminiere in (2)
> und (3) das [mm]x_{1}[/mm] so:
> (2)´ = (2) - (1) = [mm]8x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}[/mm] = 7
> (3)´ = 2*(3) - (2) = [mm]8x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}[/mm] = 2t + 9
>
> Jetzt muss ich doch aber in (3)´ das [mm]x_{2}[/mm] wegbringen.
> Wenn ich jetzt aber (3)´ - (2)´ rechne fällt [mm]x_{3}[/mm] ja auch
> weg und das bräuchte ich doch, um das Ergebnis von [mm]x_{3}[/mm] in
> den anderen Gleichungen einsetzen zu können und so die
> restlichen Variablen raus zu bekommen, oder?
Nö, aber dein Vorgehen klingt doch gut, wenn ich recht verstanden habe, kommst du nun, wenn du die letzte Gleichung weiter verarztest auf dieses "Problem"
Ich schreib's als Matrix ..
[mm] $...\pmat{2&4&2&\mid&12t\\0&8&5&\mid&7\\0&0&0&\mid&2t+2}$
[/mm]
(wobei du die 1.Zeile noch durch 2 teilen könntest...)
Nun, wie kann man dies interpretieren?
In der letzten Zeile steht ja, wieder als Gleichung geschrieben, [mm] $0\cdot{}x_1+0\cdot{}x_2+0\cdot{}x_3=2t+2$, [/mm] also $0=2t+2$
Was passiert denn dann für $t=-1$ in der letzten Zeile? Und was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wie sieht die Lösungsgesamtheit aus?
Wie ist es, wenn [mm] $t\neq [/mm] -1$ ist. Was ist dann in der letzten Zeile los? Und was bedeutet es für die Lösbarkeit...
LG
schachuzipus
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Naja...
Wenn t [mm] \not= [/mm] -1 ist haben wir ja einen Widerspruch in der letzten Zeile und das hieße, es gibt keine Lösung für das System.
Für t = 1 ist in der letzten Zeile alles in Ordnung, also 0 + 0 + 0 = 0
Aber wie es dann weitergehen soll, weiß ich nicht.
Denn 2 Gleichungen und 3 Unbekannte ist ja nicht unbedingt eindeutig lösbar und außerdem sollte das Ergebnis doch in Abhängigkeit von t angegeben werden und da erscheint es mir irgendwie nicht vorteilhaft, wenn t nur einen Wert annehmen darf...
Ich geb jetzt noch die orignal Aufgabenstellung an, vielleicht hab ich ja was falsch verstanden:
Sei t [mm] \in [/mm] R gegeben. Bestimmen Sie (in Abhängigkeit von t) die Menge der x [mm] \in R^{3} [/mm] mit:
und dann eben das Gleichungssystem in Matrizenform
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Hallo nochmal,
> Naja...
> Wenn t [mm]\not=[/mm] -1 ist haben wir ja einen Widerspruch in der
> letzten Zeile und das hieße, es gibt keine Lösung für das
> System. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für t = 1 ist in der letzten Zeile alles in Ordnung, also
> 0 + 0 + 0 = 0
> Aber wie es dann weitergehen soll, weiß ich nicht.
> Denn 2 Gleichungen und 3 Unbekannte ist ja nicht unbedingt
> eindeutig lösbar
Nein ganz und gar nicht, es hat unendlich viele Lösungen, mit den 2 Gleichungen in den 3 Unbekannten [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] hast du nun einen frei wählbaren Parameter.
Setze [mm] $x_3:=\lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
Dann beginnend in Zeile 2 rückwärts einsetzen und die Lösungsgesamtheit in Abh. von [mm] $\lambda$ [/mm] angeben
> und außerdem sollte das Ergebnis doch in
> Abhängigkeit von t angegeben werden und da erscheint es mir
> irgendwie nicht vorteilhaft, wenn t nur einen Wert annehmen
> darf...
Naja, schreibe doch: Das LGS ... hat für [mm] $t\neq [/mm] -1$ keine Lösung und für $t=-1$ unendlich viele Lösungen der Form [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=...$
[/mm]
Dann das, was du in Abh. von [mm] $\lambda$ [/mm] berechnet hast
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> Ich geb jetzt noch die orignal Aufgabenstellung an,
> vielleicht hab ich ja was falsch verstanden:
>
> Sei t [mm]\in[/mm] R gegeben. Bestimmen Sie (in Abhängigkeit von t)
> die Menge der x [mm]\in R^{3}[/mm] mit:
> und dann eben das Gleichungssystem in Matrizenform
LG
schachuzipus
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