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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Do 25.06.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
[mm] a*x_{1}+b*x_{2}-b*x_{3}=a
[/mm]
[mm] x_{1}+a*x_{2}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=1
[/mm]
a) Für welche Werte der Parameter [mm] a,b\in \IR [/mm] ist dieses System eindeutig lösbar?
b) Im Falle der eindeutigen Lösbarkeit bestimmen Sie die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel.
c) Überprüfen Sie die Lösbarkeit dieses Systems für den Fall b=0. Bestimmen Sie gegebenenfalls die allgemeine Lösung. |
Hallo Leute,
also eindeutig lösbar ist ein Gleichungssystem, wenn Rg(A)=m= Rg(a|b) [mm] \wedge [/mm] n=m. Also es gilt bei dieser Aufgabe doch n=m=3. Diese Bedingung wäre also bereits erfüllt. Jetzt müsste man sich die erste Bedingung noch einmal anschauen. Rg(A) müsste 3 sein. Dies ist der Fall, wenn [mm] a\not=0 \wedge b\not=0. [/mm] Seht ihr das ähnlich? Oder müsste man hier anders vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 26.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
einfacher wird es, wenn du Matrixschreibweise verwendest. Das LGS hat dann die folgende Form
[mm] \pmat{ a & b & -b \\ 1 & a & 0\\ 0 & 1 & 0}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3}=\vektor{a \\ 1 \\1}
[/mm]
Gauß:
[mm] \to \pmat{ a & b & -b \\ 0 & a^2-b & b\\ 0 & 1 & 0}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3}=\vektor{a \\ 0 \\1}
[/mm]
[mm] \to \pmat{ a & b & -b \\ 0 & a^2-b & b\\ 0 & 0 & -b}*\vektor{x_1 \\ x_2 \\x_3}=\vektor{a \\ 0 \\a^2-b}
[/mm]
Jetzt kannst dir die Frage stellen
> a) Für welche Werte der Parameter $ [mm] a,b\in \IR [/mm] $ ist dieses System eindeutig lösbar?
(Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet!)
Gruß barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Fr 26.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Was sich der Aufgabensteller wohl dabei gedacht hat ...?
Aus
$ [mm] a\cdot{}x_{1}+b\cdot{}x_{2}-b\cdot{}x_{3}=a [/mm] $
$ [mm] x_{1}+a\cdot{}x_{2}=1 [/mm] $
$ [mm] x_{2}=1 [/mm] $
folgt sofort:
[mm] $x_2 [/mm] = 1, [mm] x_1 [/mm] = 1-a, [mm] bx_3 [/mm] = [mm] b-a^2$
[/mm]
und man kann alles ablesen.
FRED
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