Lineares Gleichungssystem 2 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Hallo,
ich möchte heute noch dieses lineare Gleichungssystem lösen um zu sehen, ob ich es wirklich verstanden habe.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
a) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung x=y=z=0
b) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung x=y=z=1
c) Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung
d) Das Gleichungssystem besitzt eine Gerade als Lösungsmenge
e) Das Gleichungssystem beschreibt zwei parallele Ebenen
Mein Lösungsansatz:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 3 \\ -3 & -6 & -3 }
[/mm]
Also erste Zeile bleibt
Zeile 2: - Zeile 1 + Zeile 2
Zeile 3: -3*Zeile1 + Zeile 3
Stimmt das bis jetzt so ?
Hoffe das wieder einige die Gedult aufbringen mir zu Helfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Fr 24.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich möchte heute noch dieses lineare Gleichungssystem
> lösen um zu sehen, ob ich es wirklich verstanden habe.
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
>
> a) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung
> x=y=z=0
> b) Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung
> x=y=z=1
> c) Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung
> d) Das Gleichungssystem besitzt eine Gerade als
> Lösungsmenge
> e) Das Gleichungssystem beschreibt zwei parallele Ebenen
>
>
> Mein Lösungsansatz:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 3 \\ -3 & -6 & -3 }[/mm]
>
>
> Also erste Zeile bleibt
> Zeile 2: - Zeile 1 + Zeile 2
> Zeile 3: -3*Zeile1 + Zeile 3
>
> Stimmt das bis jetzt so ?
Was hast Du denn aus diesem simplen LGS gemacht ??
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $ * $ [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] $
Ausgeschreiben lautet es:
x+2y-2z=1
y+z=2
3z=3
Nun fang mal mit der letzten Gl. an. Was ergibt sich für z ?. Mit der 2. Gl. erhälst Du y .............................
FRED
>
>
> Hoffe das wieder einige die Gedult aufbringen mir zu Helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Also für z ergibt sich 1 und für y ergibt sich auch 1 ...und ja x ist auch 1
dann wird die lösung b sein =)
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 24.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Also für z ergibt sich 1 und für y ergibt sich auch 1
> ...und ja x ist auch 1
So ist es.
>
> dann wird die lösung b sein =)
>
> richtig?
Yep
Aber schau dir auf jeden Fall nochmal die Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen an.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Ja ich möchte es auch anders lösen können, denn so wie ich jetzt ( nach fred) vorgegangen bin, werde ich nicht alle so einfach lösen können.
Aber wenn ich dieses Gleichungssystem jetzt so lösen will:
erste zeile bleibt
1 2 -2
Zeile 2: - Zeile 1 + Zeile 2
-1 -1 3
Zeile 3: -3*Zeile 1 + Zeile 3
-3 -6 -3
Gestern bin ich auch nach diesem ^^^ Muster vorgegangen.
Hab ich mich hier verrechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Fr 24.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja ich möchte es auch anders lösen können, denn so wie
> ich jetzt ( nach fred) vorgegangen bin, werde ich nicht
> alle so einfach lösen können.
>
>
> Aber wenn ich dieses Gleichungssystem jetzt so lösen
> will:
>
> erste zeile bleibt
>
> 1 2 -2
>
> Zeile 2: - Zeile 1 + Zeile 2
>
> -1 -1 3
>
> Zeile 3: -3*Zeile 1 + Zeile 3
>
> -3 -6 -3
>
> Gestern bin ich auch nach diesem ^^^ Muster vorgegangen.
>
> Hab ich mich hier verrechnet?
Ich habs nicht nachgeprüft. Aber Du hast aus einem sehr einfachen LGS ein komplizierteres gemacht.
Ziel beim Lösen von LGSen ist die Stufenform. Die liegt beim obigen LGS doch schon vor !
Anderes Beispiel. Aus der simplen quadratischen Gl. [mm] x^2=1 [/mm] kannst Du die folgende machen:
(*) [mm] $3x^2-sin^2(x^7-6x^5)=2x^2+cos^2(x^7-6x^5)$
[/mm]
Dann kannst Du hergehen und rufen: "wie löse ich (*) ?"
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Ja hast recht. Aber danke, das du mir einen so einfachen weg zum lösen gezeigt hast.
Hab noch ein Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & -3 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ -3}
[/mm]
Kann ich bei diesem gleichungssystem so vorgehen wie ich es zuvor wollte? Wäre es angebracht?
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Hallo Eduart,
bei neuen Aufgaben am besten einen neuen thread aufmachen, sonst wird's wegen der Länge zu unübersichtlich ...
> Ja hast recht. Aber danke, das du mir einen so einfachen
> weg zum lösen gezeigt hast.
>
> Hab noch ein Gleichungssystem:
>
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 9 \\
0 & 0 & -3 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
6 \\
-3}[/mm]
>
> Kann ich bei diesem gleichungssystem so vorgehen wie ich es
> zuvor wollte? Wäre es angebracht?
Was war das noch genau? 
Hier stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix auf:
[mm]\pmat{2&1&0&\mid&0\\
0&0&9&\mid&6\\
0&0&\red{-3}&\mid&-3}[/mm]
Diese bringe wieder in Zeilenstufenform.
Sie ist es ja schon fast, du musst nur noch den Eintrag [mm]\red{a_{33}=-3}[/mm] eliminieren.
Addiere dazu die 2.Zeile auf das 3-fache der 3.Zeile.
Was stellst du fest und wie steht es mit dem Lösbarkeitskriterium Rang der Matrix = Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix?
Passt das oder gibt's einen Widerspruch?
Gruß
schachuzipus
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