Linearfaktoren < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist x-1 ein Linearfaktor von:
[mm] x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n} [/mm] |
Ich würde mal vermuten für alle ungeraden n. Ich schaff's aber nicht zu zeigen warum.
Ich hab's mal probiert für, indem ich für n=2n+1 eingesetzt habe:
[mm] x^{2n+1}-x^{(2n+1)-1}+x^{(2n+1)n-2}-...(-1)^{2n+1}
[/mm]
Aber ich da komm ich nicht weiter
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:01 Fr 07.12.2018 | | Autor: | fred97 |
> Für welche n [mm]\in \IN[/mm] ist x-1 ein Linearfaktor von:
> [mm]x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n}[/mm]
> Ich würde mal vermuten für alle ungeraden n. Ich
> schaff's aber nicht zu zeigen warum.
> Ich hab's mal probiert für, indem ich für n=2n+1
> eingesetzt habe:
>
> [mm]x^{2n+1}-x^{(2n+1)-1}+x^{(2n+1)n-2}-...(-1)^{2n+1}[/mm]
>
> Aber ich da komm ich nicht weiter
Wir setzen
[mm] $p_n(x):= x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n} [/mm] $. Die Aufgabe lautet dann so:
für welche n ist [mm] p_n(1)=0 [/mm] ?
Zeige:
ist n gerade, so ist [mm] p_n(1)=1 [/mm] , ist n ungerade, so ist [mm] p_n(1)=0.
[/mm]
Beachte: [mm] p_{n+1}(1)=p_n(1)+(-1)^{n+1}.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Aufgabe
Für welche n $ [mm] \in \IN [/mm] $ ist x-1 ein Linearfaktor von:
$ [mm] x^{n}-x^{n-1}+x^{n-2}-...(-1)^{n} [/mm] $
Ich würde mal vermuten für alle ungeraden n. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich schaff's aber nicht zu zeigen warum.
Ich hab's mal probiert für, indem ich für n=2n+1 eingesetzt habe:
$ [mm] x^{2n+1}-x^{(2n+1)-1}+x^{(2n+1)n-2}-...(-1)^{2n+1} [/mm] $
Aber ich da komm ich nicht weiter
(x-a) ist genau dann Linearfaktor einer ganzrationalen Funktion, wenn a eine Nullstelle davon ist.
Somit gilt: (x-1) ist Linearfaktor des angegebenen Terms, wenn dieser bei 1 den Wert 0 hat. Mehr musst du gar nicht untersuchen. Und das funtioniert genau für alle ungeraden n, weil sich dann immer zwei benachbarte Summanden aufheben.
|
|
|
|
