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Forum "Algebra" - Linearfaktorzerlegung
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Linearfaktorzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:54 Fr 11.02.2011
Autor: jacob17

Hallo,
Sitze gerade an folgender Aufgabe, die recht leicht erscheint. Jedoch bin ich iwie drin stecken geblieben. Hier die Aufgabe:
Zerlegen sie folgendes Polynom [mm] x^4+2x^2+4 [/mm] in Linearfaktoren in C[X]

Meine Vorgehensweise:
Zunächst habe ich durch [mm] z=x^2 [/mm] substituiert. Somit erhielt ich [mm] z_1= [/mm] -1 + [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2} [/mm] und [mm] z_2= [/mm] -1 - [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2}. [/mm] Somit ergeben sich 4 Nullstellen [mm] x_1= \wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_2= [/mm] - [mm] \wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_3= \wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, [/mm]  und [mm] x_4= [/mm] - [mm] \wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, [/mm]  Ok wie geht es nun weiter?
Man weiß, dass -1 + [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2} \in [/mm] {a+ib, -a-ib}  Also gilt [mm] (a+ib)^2 [/mm] =  -1 + [mm] \bruch{\wurzel{12}i}{2} [/mm] Das löst man auf und erhält werte für a und b.
Meine Fragen: was bringen mir diese Werte für a und b? Muss ich das ganze dann auch noch für alle anderen Nullstellen [mm] x_2 [/mm] bis [mm] x_4 [/mm] machen, oder reicht es das für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] zu machen? Und wie sieht dann die konkrete Linearfaktorzerlegung des Polynoms aus?
Ich hoffe ich habe es so verständlich wie möglich ausgedrückt und dass mir irgendjemand von euch weiterhelfen kann :-)
Viele Grüße
jacob

        
Bezug
Linearfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Fr 11.02.2011
Autor: Denny22


> Hallo,
> Sitze gerade an folgender Aufgabe, die recht leicht
> erscheint. Jedoch bin ich iwie drin stecken geblieben. Hier
> die Aufgabe:
>  Zerlegen sie folgendes Polynom [mm]x^4+2x^2+4[/mm] in
> Linearfaktoren in C[X]
>
> Meine Vorgehensweise:
>  Zunächst habe ich durch [mm]z=x^2[/mm] substituiert. Somit erhielt
> ich [mm]z_1=[/mm] -1 + [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2}[/mm] und [mm]z_2=[/mm] -1 -
> [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2}.[/mm]

Wenn Du die Substitution [mm] $z=x^2$ [/mm] durchfuehrst, so hast Du doch die Gleichung

    [mm] $z^2+2z+4$ [/mm]

Die Nullstellen dieser Gleichung lauten

    [mm] $z_1=-1+\sqrt{3}i$ [/mm]
   [mm] $z_2=-1-\sqrt{3}i$. [/mm]

Um nun auf die gesuchten Nullstellen [mm] $x_1,x_2,x_3,x_4$ [/mm] Deines Ausgangspolynoms [mm] $x^4+2x^2+4$ [/mm] zu kommen, musst Du Deine Substitution hernehmen und diese loesen, d.h. (da Du nun $z$ kennst) loese die beiden Gleichungen

    [mm] $x^2=-1+\sqrt{3}i$ $(\overset{!}{=}z_1)$ [/mm]
    [mm] $x^2=-1-\sqrt{3}i$ $(\overset{!}{=}z_2)$ [/mm]

Dies liefert Dir jeweils 2 Loesungen. Fuer die erste Gleichung sind dies

    [mm] $x_1=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$ [/mm]
    [mm] $x_2=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i$ [/mm]

und fuer die zweite Gleichung

    [mm] $x_3=\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i$ [/mm]
    [mm] $x_4=-\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$ [/mm]

Damit hast Du Deine Nullstellen bestimmt. Die Darstellung in Linearfaktoren sieht dann wie folgt aus

    [mm] $x^4+2x^2+4=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ [/mm]

Fertig.

> Somit ergeben sich 4 Nullstellen
> [mm]x_1= \wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_2=[/mm] -
> [mm]\wurzel{-1 + \bruch{\wurzel{12}i}{2}}, x_3= \wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}},[/mm]
>  und [mm]x_4=[/mm] - [mm]\wurzel{-1 - \bruch{\wurzel{12}i}{2}},[/mm]  Ok wie
> geht es nun weiter?
> Man weiß, dass -1 + [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2} \in[/mm] {a+ib,
> -a-ib}  Also gilt [mm](a+ib)^2[/mm] =  -1 + [mm]\bruch{\wurzel{12}i}{2}[/mm]
> Das löst man auf und erhält werte für a und b.
>   Meine Fragen: was bringen mir diese Werte für a und b?
> Muss ich das ganze dann auch noch für alle anderen
> Nullstellen [mm]x_2[/mm] bis [mm]x_4[/mm] machen, oder reicht es das für [mm]x_1[/mm]
> und [mm]x_3[/mm] zu machen? Und wie sieht dann die konkrete
> Linearfaktorzerlegung des Polynoms aus?
>  Ich hoffe ich habe es so verständlich wie möglich
> ausgedrückt und dass mir irgendjemand von euch
> weiterhelfen kann :-)
>  Viele Grüße
>  jacob

Besten Gruss


Bezug
                
Bezug
Linearfaktorzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Fr 11.02.2011
Autor: jacob17


>  
> [mm]x_1=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>      
> [mm]x_2=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>  
> und fuer die zweite Gleichung
>  
> [mm]x_3=\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>      
> [mm]x_4=-\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>  
> Damit hast Du Deine Nullstellen bestimmt. Die Darstellung
> in Linearfaktoren sieht dann wie folgt aus
>  
> [mm]x^4+2x^2+4=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)[/mm]
>  

Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Nun ist mir aber noch nicht ganz klar wie du die Ergebnisse für [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_4 [/mm] umgeformt hast damit du auf diese Linearfaktorzerlegung gekommen bist?

Viele Grüße
jacob

Bezug
                        
Bezug
Linearfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 Fr 11.02.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> >  

> >
> [mm]x_1=\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>  >      
> >
> [mm]x_2=-\sqrt{-1+\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>  >  
> > und fuer die zweite Gleichung
>  >  
> >
> [mm]x_3=\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>  >      
> >
> [mm]x_4=-\sqrt{-1-\sqrt{3}i}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i[/mm]
>  >  
> > Damit hast Du Deine Nullstellen bestimmt. Die Darstellung
> > in Linearfaktoren sieht dann wie folgt aus
>  >  
> > [mm]x^4+2x^2+4=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)[/mm]
>  >  
> Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort. Nun ist
> mir aber noch nicht ganz klar wie du die Ergebnisse für
> [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_4[/mm] umgeformt hast damit du auf diese
> Linearfaktorzerlegung gekommen bist?
>
> Viele Grüße
>  jacob


Hallo Jacob,

das geht z.B. ganz nett mittels Polardarstellung ("schöne" Winkel !)

LG    Al-Chw.  


Bezug
                                
Bezug
Linearfaktorzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Fr 11.02.2011
Autor: jacob17

Davon hab' ich schon was gehört. Aber wie funktioniert das genau in diesem Beispiel?
jacob

Bezug
                                        
Bezug
Linearfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Fr 11.02.2011
Autor: MathePower

Hallo jacob17,


> Davon hab' ich schon was gehört. Aber wie funktioniert das
> genau in diesem Beispiel?


[mm]x^{4}+2*x^{2}+4=0 \gdw \left(x^{2}+1\right)^{2}=-3[/mm]

Stellt man die -3 in Exponentialform dar, so ist:

[mm]-3=3*e^{i*\pi}=3*\cos\left(\pi\right)+i*3*\sin\left(\pi\right)[/mm]

Danach gilt:

[mm]\left(x^{2}+1\right)^{2}=3*e^{i*\pi}[/mm]

Woraus sich die Lösungen für [mm]x^{2}[/mm] ergeben:

[mm]x^{2}=\wurzel{3}*e^{i*\bruch{\pi+2*k*\pi}{2}}-1, \ k=0,1[/mm]

bzw.

[mm]x^{2}=-1 \pm i*\wurzel{3}[/mm]

Nun bringst Du die rechte Seite wieder in Exponentialform
und ermittelst dann die Lösungen aus

[mm]x^{2}=r*e^{i*\phi_{l}} , \ l=0,1[/mm]


>  jacob


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Linearfaktorzerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 Fr 11.02.2011
Autor: jacob17

Wow tolle Erklärung ;) Vielen Dank
jacob

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