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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:04 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $(X,d)$ metrischer Vektrorraum, [mm] $\ell: [/mm] X [mm] \to \IK$ [/mm] linear mit [mm] $\ell(x_0) \not=0$ [/mm] für ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(i) [mm] $\ell$ [/mm] ist stetig
(ii) [mm] $\ell^{-1}$ [/mm] ist nicht dicht in $X$
(iii) [mm] $\ell(B_r(0))$ [/mm] ist beschränkt für ein $r > 0$
(iv) [mm] $\ell(B)$ [/mm] ist beschränkt für alle beschränkten $B [mm] \subset [/mm] X$
(v) [mm] $\ell(\{x_n\;|\;n \in \IN\}$ [/mm] ist beschränkt in für alle Nullfolgen [mm] $(x_n)$ [/mm] in [mm] $X\;$. [/mm] |
Hallo,
ich möchte die Behauptung per Ringschluss zeigen. Das hat auch sehr gut geklappt, bis auf den Schritt (v) -> (i). Da komme ich gar nicht weiter.
Eine Idee war, ich nehme an [mm] $\ell$ [/mm] nicht stetig [mm] $\Rightarrow \ell^{-1}(0)$ [/mm] nicht abgeschlossen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gibt eine Folge [mm] $(x_n) \subset \ell^{-1}(0)$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$ aber $x [mm] \not\in \ell^{-1}(0)$, [/mm] d.h. [mm] $\ell(x) \not= [/mm] 0$.
Das bringt mich nur leider nicht weiter. Wenn ich die Folge [mm] $(x_n-x)$ [/mm] betrachte, ist dies zwar Nullfolge, aber ich sehe nicht warum dass Bild unter [mm] $\ell$ [/mm] unbeschränkt seien sollte.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
LG, Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hippias |
Spontan wuerde ich so argumentieren: Ich betrachte eine Teilfolge [mm] $(y_{k})_{k\in \IN}$ [/mm] Deiner Folge mit [mm] $|y_{k}-x|<\bruch{1}{2^{k}}$ [/mm] und definiere die Folge [mm] $z_{k}:= k(y_{k}-x)$. [/mm] Dann ist [mm] $(z_{k})_{k\in \IN}$ [/mm] noch immer Nullfolge. Beachte, dass [mm] $y_{k}\in l^{-1}(0)$ [/mm] gewählt ist, denn damit folgt nun [mm] $l(z_{k})= [/mm] -kl(x)$. Aus [mm] $l(x)\neq [/mm] 0$ folgt die Unbeschränktheit.
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