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| Aufgabe | Es sei K ein Körper und für i [mm] \in [/mm] {1,2...,n}sei [mm] p_i :K^n [/mm] -> K die Projektion auf die i-te Komponente, d.h. für [mm] (x_1, x_2,..., x_n) \in K^n [/mm] ist [mm] p_i (x_1, x_2,..., x_n)= x_i. [/mm]
Zeigen Sie, dass für jedes i [mm] \in [/mm] {1,2,..,n} die Projektion [mm] p_i [/mm] linear ist, wenn man sowohl [mm] K^n [/mm] als auch K als K-Vektorraum auffasst. |
Hallo,
bei Aufgabe fehlt mir irgendwie der Ansatz. Kann mir jemand sagen, wie ich hier anfangen könnte... wäre super nett. Danke und LG...
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Du musst die Linearitätseigenschaften nachweisen. Dazu genügt zu zeigen, dass immer gilt:
[mm]p_i(ax + by) = a p_i(x) + b p_i(y)[/mm]
Sollte nicht zu schwer sein...
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Hallo,
> [mm]p_i(ax + by) = a p_i(x) + b p_i(y)[/mm]
ich komme durcheinander was [mm] p_i [/mm] ist. Irgendwie habe ich das noch nicht verstanden. Die Linearitätseigenschaften sind mir klar, aber wie ich das einsetze irgendwie nicht. Dumme Frage, aber hoffentlich kannst du mir nochmal helfen...
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Hallo,
lass' uns zunächst über [mm] p_5 [/mm] sprechen, d.h. über [mm] p_i [/mm] mit i=5.
Was tut diese Abbildung? Du steckst einen Vektor des [mm] K^n [/mm] hinein, heraus kommt die 5-te Komponente des hineingesteckten Vektors.
Für die Linearität zu zeigen ist, daß
> > [mm]p_i(ax + by) = a p_i(x) + b p_i(y)[/mm]
gilt für alle x,y [mm] \in K^n [/mm] und für alle a,b [mm] \in [/mm] K.
Auf [mm] p_5 [/mm] bezogen also
[mm]p_5(ax + by) = a p_5(x) + b p_5(y)[/mm]
gilt für alle x,y [mm] \in K^n [/mm] und für alle a,b [mm] \in [/mm] K.
Rechen wir's doch mal aus:
Nehmen wir uns zwei beliebige x,y [mm] \in K^n.
[/mm]
(Ich glaube, jetzt kommt der Knackpunkt!)
So: [mm] x=\vektor{x_1 \\...\\ x_n} [/mm] und [mm] y=\vektor{y_1 \\...\\ y_n} [/mm] mit [mm] x_j,y_j\in [/mm] K.
Dann seien a, b [mm] \in [/mm] K.
Es ist [mm] p_5(ax+by)=p_5(a\vektor{x_1 \\...\\ x_n}+b\vektor{y_1 \\...\\ y_n})=...
[/mm]
Wahrscheinlich kommst Du nun allein weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ja, da hab ich ziemlichen Murks gemacht, weil ich nicht beachtet habe, dass wir von [mm] K^n [/mm] aus abbilden...
> Hallo,
>
> lass' uns zunächst über [mm]p_5[/mm] sprechen, d.h. über [mm]p_i[/mm] mit
> i=5.
>
> Was tut diese Abbildung? Du steckst einen Vektor des [mm]K^n[/mm]
> hinein, heraus kommt die 5-te Komponente des
> hineingesteckten Vektors.
>
Was wäre denn die 5. Komponente bei [mm] p_{5}(x1,....xn)?Wäre [/mm] das dann [mm] x_{5}
[/mm]
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> Was wäre denn die 5. Komponente bei [mm]p_{5}(x1,....xn)?Wäre[/mm]
> das dann [mm]x_{5}[/mm]
Ja.
Gruß v. Angela
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ist das dann für [mm] p_i...:
[/mm]
[mm] p_i [/mm] (ax+ by)= [mm] p_i [/mm] (a [mm] \vektor{x_1 \\... \\ x_n}+ [/mm] b [mm] \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n})
[/mm]
= [mm] p_i [/mm] (1 (a [mm] \vektor{x_1 \\... \\ x_n}+ [/mm] b [mm] \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n})))
[/mm]
=(a [mm] \vektor{x_1 \\... \\ x_n}+ [/mm] b [mm] \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}) p_i [/mm] (1)
=(a [mm] \vektor{x_1 \\... \\ x_n}) p_i(1) [/mm] +b [mm] \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n} p_i [/mm] (1)
= [mm] p_i (\vektor{x_1 \\... \\ x_n}*1)+ p_i \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}
[/mm]
= [mm] p_i \vektor{x_1 \\... \\ x_n} [/mm] + [mm] p_i \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}
[/mm]
ist das so richtig??? LG und danke...
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> ist das dann für [mm]p_i...:[/mm]
> [mm]p_i[/mm] (ax+ by)= [mm]p_i[/mm] (a [mm]\vektor{x_1 \\... \\ x_n}+[/mm] b
> [mm]\vektor{y_1 \\ ... \\ y_n})[/mm]
> = [mm]p_i[/mm] (1 (a [mm]\vektor{x_1 \\... \\ x_n}+[/mm]
> b [mm]\vektor{y_1 \\ ... \\ y_n})))[/mm]
> =(a [mm]\vektor{x_1 \\... \\ x_n}+[/mm]
> b [mm]\vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}) p_i[/mm] (1)
> =(a [mm]\vektor{x_1 \\... \\ x_n}) p_i(1)[/mm] +b [mm]\vektor{y_1 \\ ... \\ y_n} p_i[/mm]
> (1)
> = [mm]p_i (\vektor{x_1 \\... \\ x_n}*1)+ p_i \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}[/mm]
>
> = [mm]p_i \vektor{x_1 \\... \\ x_n}[/mm] + [mm]p_i \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}[/mm]
>
> ist das so richtig??? LG und danke...
Hallo,
nein, das ist nicht richtig.
Ich hatte doch gesagt: [mm] p_i [/mm] liefert die i-te Komponente des hineingesteckten Vektors.
Du willst nun
[mm]p_i[/mm] (ax+ by)= [mm]p_i[/mm] (a [mm]\vektor{x_1 \\... \\ x_n}+[/mm] b [mm]\vektor{y_1 \\ ... \\ y_n})[/mm]
berechnen.
Jetzt berechne erstmal [mm] a\vektor{x_1 \\... \\ x_n}+ b\vektor{y_1 \\ ...\\y_n}.
[/mm]
Auf diesen wendest Du dann [mm] p_i [/mm] an, was bedeutet, daß Du finden mußt, welches die i-te Komponente dieses Vektors ist.
Irgendwo in Deiner Rechnung schreibst Du [mm] p_i(1). [/mm] Das ist der totale Blödsinn: [mm] p_i [/mm] ist doch auf n-Tupeln definiert und nicht auf Zahlen bzw. Elementen von K! Von daher: [mm] p_i(1) [/mm] gibt's hier gar nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Millili |
Muss die Aufgabe auch gerade bearbeiten;)
Also pi hatte ich jetzt als Funktion interpretiert, weil ganz oben in der Aufgabenstellung ja steht pi: [mm] K^n \to [/mm] K
So dass, dann halt p1(x1)=x1, p2(x2)=x2.....
Bin mir aber auch nicht ganz sicher, ob das richtig ist.
Mein Ansatz wäre jetzt dieser gewesen:
1. z.Z. pi(x1)+pi(x2)=pi(x1+x2)
Sei x1, x21 [mm] \in K^n
[/mm]
Dann ist:
pi(x1)+pi(x2)=x1+x2 und:
pi(x1+x2)=x1 +x2 [mm] \Rightarrow [/mm] pi(x1)+pi(x2)=pi(x1+y2)
und als Zweites auf dem gleichen Wege auch noch :api(x1)=pi(ax1)
Aber da ist irgendwo bestimmt ein harken an der Sache, von daher bin ich mir wiederum da auch nicht so sicher, ob das richtig sein könnte:)
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> Also pi hatte ich jetzt als Funktion interpretiert, weil
> ganz oben in der Aufgabenstellung ja steht pi: [mm]K^n \to[/mm] K
Ja, natürlich ist [mm] p_i [/mm] eine Abbildung, das steht ja nicht in Frage. Es geht darum, ob sie linear ist.
> So dass, dann halt p1(x1)=x1, p2(x2)=x2.....
Nein. Das, was Du da schreibst, ist ja die identische Abbildung, die, die alles auf sich selbst abbildet.
Das kann ja schon deshalb nicht der Fall sein, weil wir aus dem [mm] K^n [/mm] in den K abbilden.
Vielleicht liest Du Dir mal durch, was ich superstar darüber geschrieben habe, wie die Abbildungen [mm] p_i [/mm] funktionieren. Sie liefern die i-te Komponente des hineingesteckten Vektors.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:09 Sa 09.06.2007 | | Autor: | superstar |
Jetzt verstehe ich gar nichts mehr...kannst du es mir vielleicht noch mal erklären? Danke
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> Jetzt verstehe ich gar nichts mehr...kannst du es mir
> vielleicht noch mal erklären? Danke
Hallo,
statt daß ich alles nochmal aufschreibe, ist es wohl effektiver, wenn Du Dir alles nochmal durchliest und anschließend konkrete Fragen zu den Dingen stellst, die Du nicht verstehst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 10.06.2007 | | Autor: | MaRaQ |
So. Da auch ich (was ein Zufall) mir gerade den Kopf über dieser Aufgabe zerbreche, eine kleine Rückfrage.
Ich hoffe, es ist mir gestattet. 
Also, es wurde ja gesagt (am Beispiel des [mm] K^5), [/mm] dass [mm] p_5 [/mm] auf die 5-te Komponente des Vektors abbildet...
So also im [mm] K^n p_i [/mm] auf die i-te Komponente.
Kann man also folgern, dass folgende Beweisführung möglich wäre?:
z.Z: [mm] p_i(x_1,...,x_i...,x_n) [/mm] + [mm] p_i(y_1,...y_i,...,yn) [/mm] = [mm] p_i(x_1+y_1,...x_i+y_i,...,x_n+y_n)
[/mm]
[mm] p_i(x_1,...,x_i...,x_n) [/mm] + [mm] p_i(y_1,...y_i,...,yn) [/mm] = [mm] x_i [/mm] + [mm] y_i [/mm] = [mm] p_i(x_1+y_1,...x_i+y_i,...,x_n+y_n)
[/mm]
(mit lambda dann, grob gesagt, analog).
Das kommt mir in Bezug auf meine ursprüngliche Verwirrung jetzt arg einfach vor. Habe ich noch eine kleine Falle übersehen?
Wobei die Projektion auf die i-te Komponente doch (eigentlich) nichts anderes besagt, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 So 10.06.2007 | | Autor: | Millili |
Joah, also so hab ich das jetzt eigentlich dann auch gemacht...
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> z.Z: [mm]p_i(x_1,...,x_i...,x_n)[/mm] + [mm]p_i(y_1,...y_i,...,yn)[/mm] =
> [mm]p_i(x_1+y_1,...x_i+y_i,...,x_n+y_n)[/mm]
>
> [mm]p_i(x_1,...,x_i...,x_n)[/mm] + [mm]p_i(y_1,...y_i,...,yn)[/mm] = [mm]x_i[/mm] +
> [mm]y_i[/mm] = [mm]p_i(x_1+y_1,...x_i+y_i,...,x_n+y_n)[/mm]
>
> (mit lambda dann, grob gesagt, analog).
> Das kommt mir in Bezug auf meine ursprüngliche Verwirrung
> jetzt arg einfach vor. Habe ich noch eine kleine Falle
> übersehen?
> Wobei die Projektion auf die i-te Komponente doch
> (eigentlich) nichts anderes besagt, oder?
Hallo,
Du hast es haargenau richtig gemacht. [mm] p_i [/mm] ist halt eine recht einfache Abbildung!
Gruß v. Angela
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