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Hallo zusammen,
sei A ein Operator von einem rellen Banachraum B in B. Es gelte
A(x+y)=A(x)+A(y)
und
A ist stetig.
Kann man nun folgern, dass A auch linear ist? Also eigentlich ist ja nur noch zu zeigen [mm] $A(\lambda x)=\lambda [/mm] A(x)$. Aber wie kann man die Stetigkeit dazu verwenden? Oder gibt es ein Gegenbeispiel?
Vielen Dank
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> sei A ein Operator von einem rellen Banachraum B in B. Es
> gelte
> A(x+y)=A(x)+A(y)
> und
> A ist stetig.
>
> Kann man nun folgern, dass A auch linear ist? Also
> eigentlich ist ja nur noch zu zeigen [mm]A(\lambda x)=\lambda A(x)[/mm].
> Aber wie kann man die Stetigkeit dazu verwenden? Oder gibt
> es ein Gegenbeispiel?
Nein !
1. A(0)= A(0+0) = A(0)+A(0), also ist A(0)=0
2. Ist x [mm] \in [/mm] B, so zeige induktiv: A(nx)=nA(x) für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
3. Ist x [mm] \in [/mm] B und n [mm] \in \IN, [/mm] so folgt mit 2. :
$A(x)= A(n [mm] *\bruch{1}{n}x)= nA(\bruch{1}{n}x)$,
[/mm]
also: [mm] $A(\bruch{1}{n}x)= \bruch{1}{n}A(x)$
[/mm]
4. Sei m [mm] \in \N [/mm] und x [mm] \in [/mm] B.
0=A(0) = A(-mx+mx) = A(-mx)+A(mx).
mit 2. folgt: A(-mx)= -A(mx)= -mA(x)
5. Wir haben: A(kx)=kA(x) für k [mm] \in \IZ [/mm] und x [mm] \in [/mm] B
6. Sei r [mm] \in \IQ, [/mm] dann gibt es m [mm] \in \IZ [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] mit r=m/n
Mit 5. und 3. zeige: A(rx) = rA(x) für x [mm] \in [/mm] B
Sei s [mm] \in \IR. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] mit [mm] r_n \to [/mm] s
Benutze jetzt die Stetigkeit von A , um zu zeigen:
A(sx)= sA(x) für jedes x [mm] \in [/mm] B
FRED
P.S. Dass B ein Banachraum ist, wurde nicht benutzt. B normiierter Raum reicht also
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> Vielen Dank
> Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Mi 16.06.2010 | | Autor: | XPatrickX |
Danke Dir, Fred für diese ausführliche Erklärung!
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